Re: Le variabili canoniche in meccanica classica (ex: Ancora sul Tempo in meccanica quantistica)

From: Fabrizio del Dongo <fabrizio.deldongo_at_virgilio.it>
Date: Thu, 09 Aug 2001 22:25:09 GMT

"Valter Moretti" <moretti_at_science.unitn.it> ha scritto nel messaggio
news:3B713890.F648F1E4_at_science.unitn.it...
> Fabrizio del Dongo wrote:
>
> >
> > Una trasformazione canonica non ha solo la propriet� della
linearizzazione
> > detta da Valter (la linearizzazione di una trasformazione canonica � una
> > matrice la cui inversa gode di certe propriet�), ma � anche definibile a
> > partire da una "funzione generatrice".
> >
> Ciao, si,
> e` una conseguenza della validita` della "condizione di Lie", ma la
> definizione e` normalmente quella che ho detto io (ovviamente esistono
> tante definizioni equivalenti e tu puoi usare quella che vuoi).
>

Non conosco la condizione di Lie ( ne' quella di Weyl) a cui Valter si
riferisce (immagino che l' abbia studiata sull' Arnold, libro che io non
sono mai riuscito a penetrare...sob!). Tanto per fare il raffinato su
questioni di lana caprina, dir� che NON tutte le trasformazioni canoniche
(nel senso che l' inversa della matrice della loro linearizzazione gode di
certe propriet�) � ricavabile da una funzione generatrice, come la
trasformazione canonica che permuta le variabili canoniche di partenza: ma
ogni trasformazione canonica � una permutazione composta ad una
trasformazione canonica della quale esiste una generatrice!!!




> Vedo che stai usando quelle che si chiamano variabili
> "angolo azione". Andiamo con calma. Ad ogni fissato tempo t
> il sistema e` descrivibile da due paramtri che lo
> identificano completamente, tali parametri sono q e p,
> con la trasformazione canonica provi che puoi anche
> usare i parametri E e k legati biunivocamente a q e p
> dalla trasformazione canonica stessa. Fissato t, q e p
> li puoi scegliere *arbitrariamente* per dare le condizioni
> iniziali. Cio' equivale a dire che fisstao t, E e k li
> puoi scegliere arbitrariamente per dare le condizioni
> iniziali. Questo fatto *da solo* ti dice che k non e`
> il tempo, perche` se lo fosse diresti che
> "al tempo t FISSATO, E e t li posso scegliere arbitrarimante"
> e questo e` un controsenso.

Non capisco questo punto. Si e' visto che E e k sono due oneste variabili
canoniche perche' ho esibito la loro funzione generatrice: la loro
interpretazione fisica, in un primo momento, non mi interessa! Se avevo il
problema di trovare i moti del sistema di hamiltoniana H, con dato
iniziale (p_0,q_0), al tempo t_0, ora so che posso equivalentemente
risolvere il problema associato all' Hamiltoniana con dato iniziale
(E(p_0,q_0),k(p_0,q_0)), sempre al tempo t_0.
Ora succede che, per aver scelto la dipendenza di E da p e q coincidente con
la dipendenza dell' Hamiltoniana da p e q, il moto "vero" e' tale che :
 E(t) = E(t_0)
 k(t) = t-k(t_0)
Inoltre, dalla relazione esplicita di k in funzione di p e q, calcolata sul
moto vero, viene furori che k(t_0) = t_0.
Allora, ESCLUSIVAMENTE lungo le traiettorie del moto "vero", la variabile
E ha il significato di energia del sistema e la variabile k ha il
significato di tempo trascorso a partire dal tempo iniziale.

Mi pare, grosso modo (in specifico, come detto, non ho capito), che Valter
obietti proprio che non e' sufficiente che k abbia il significato di tempo
solo lungo il moto vero; ma questa e' la stessa identica situazione dell'
Hamiltoniana: essa ha si' il significato di energia, ma ESCLUSIVAMENTE sul
moto "vero"!!! Cioe' in meccanica quantistica NON esiste un operatore
energia, ma solo un operatore detto Hamiltoniano i cui autovalori sono l'
"energia" dei suoi autostati (questo mi pare pacifico!!!). Allo stesso
modo la variabile canonica k deve diventare in meccanica quantistica un
operatore: la mia proposta e' che i suoi autostati siano di "durata"
fissata (ad esempio potrebbero essere stati di particelle che decadono dopo
un tempo preciso, senza dispersione temporale).

Poiche' E e k li ho trovati con una trasformazione canonica a partire da p
e q, sono sicuro che la sue parentesi di Poisson, che in mecc quant. e' il
commutatore, e' lo stesso di [p,q], e quindi l' esponenziale di k deve fare
le traslazioni degli autovalori di E ... arrivando cosi' al problema gia'
ampliamente discusso dello spettro di energia limitato.

In generale le trasformazioni canoniche NON hanno nulla a che vedere con la
dinamica, le posso usare, cioe', senza modificare in nulla la loro
costruzione, per qualsiasi Hamiltoniana. Ma il loro significato cambia da
sistema a sistema: solo quando una di queste nuove variabili canoniche
coincide con l' Hamiltoniana di partenza, posso dire che tra le nuove
variabili c' e' l' energia ed il tempo.

Nei sistemi la cui Hamiltoniana puo' essere vista come una nuova variabile
canonica, la sua "associata" avra' sempre il significato fisico di tempo, e
questo succede, come altre volte detto, almeno in tutti i sistemi
unidimensionali ed in quelli tridimensionali con campo delle forze centrale.

Cosa succede quando l' Hamiltoniana non puo' essere una nuova variabile
canonica? In meccanica quantistica E e k saranno comunque degli operatori
per il sol fatto di essere funzione degli operatori p e q, ma le loro
relazioni di commutazione non saranno le stesse di p e q, quindi con l'
esponenziale dell' uno non faccio piu' le traslazioni degli autovalori dell'
altro. Eppure gli autovalori di E li chiamo comunque "energie", mentre
quelli di k NON POSSO chiamarli "durate" perche' k(t) classica ha, in questo
caso, un andamento complicato: questa asimmetria risiede, in definitiva,
nella stessa asimmetria che vi e' in meccanica classica, nelle cui equazioni
del moto compaiono le variabili canoniche comunque derivate rispetto al
tempo.

Forse sono tornato a quanto diceva Valter; quest' ultima analisi, pero',
vale solo per i sistemi la cui Hamiltoniana non e' una possibile nuova
variabile canonica. Eppoi non mi pare perticolarmente illuminante.






> Prima di tutto bisognerebbe prendere k e costruire un operatore K
> autoaggiunto che giochi il ruolo di k. Non e` per niente ovvio come
> fare:
> quando espliciti k in funzione di q e p viene fuori un mostro.
> Uso l'hamiltoniano dell'oscillatore armonico p^2/2 + omega^2 q^2/2
>
> k = (1/omega) arcsin( omega q / sqrt(p^2 +omega^2 q^2))
>
> a che cosa corrisponde questo quantisticamente???
> NOTA: p e q non commutano per cui non si puo` brutalmente
> sostituire a p e q i rispettivi operatori, non vorrebbe dire
> niente.

Anche quando scrivo l' Hamiltoniano ho una funzione di due operatori che non
commutano: eppure me la cavo (scrivendo p come la derivata in q, il che
deriva dalle relazioni di commutazione); inoltre anche quando scrivo una
qualsiasi osservabile fisica ho da maneggiare una funzione di p e q e me la
DEVO cavare se voglio dare un senso alla teoria!!!

Se le cose stanno cosi', e' poi chiaro quale significato ha la complicata
espressione per k trovata sopra: il significato di tempo, per mera
TUTOLOGIA!!!


> > Come si risolva il problema dello spettro limitato dell' energia non lo
so.
>
> Il probelema si pone ANCHE se k non rappresenta il tempo:
> se soddisfacesse le relazioni canoniche (come operatore) con H
> saremmo comunque nei guai.

> La risposta che io ti fornisco e` la seguente: comunque tu
> definisci k quantisticamente, non otterrai *mai* che esso e`
> autoaggiunto e soddisfa le relazioni canoniche con H
> dell'oscillatore armonico (piu' precisamente le relazioni di Weyl).
> Questo perche` se cio' fosse H non sarebbe limitato
> dal basso e invece sappiamo che lo e`. Ma questo e` indipendente
> dal fatto che K rappresenti il tempo o meno.
>

questa cosa, pero', succede a qualsiasi coppia di variabili canoniche: mica
e' sempre vero che un operatore, se era una variabile canonica in mecc
classica, non puo' avere uno spettro limitato. Ansi, ugual paradosso si
avrebbe per operatori "canonici" il cui spettro e' si' non limitato, ma
discreto, e non composto da TUTTI i multipli interi di tutti gli
autovalori non multipli tra loro: se nello spettro non ci sono tutti i
multipli di un certo autovalore A, dopo un po' di traslazioni di passo A
vado a finire su un autovalore che non esiste!!!

Pertanto, questo argomento, piu' che minare il ruolo di operatore della
variabile fisica tempo, mina in generale tutta la ricetta della
quantizzazione canonica, a meno di qualche MIRACOLOSO teorema sugli spettri
delle variabili canoniche che io non conosco.
Received on Fri Aug 10 2001 - 00:25:09 CEST