Re: Le variabili canoniche in meccanica classica (ex: Ancora sul Tempo in meccanica quantistica)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Wed, 08 Aug 2001 15:03:12 +0200

Fabrizio del Dongo wrote:

>
> Una trasformazione canonica non ha solo la propriet� della linearizzazione
> detta da Valter (la linearizzazione di una trasformazione canonica � una
> matrice la cui inversa gode di certe propriet�), ma � anche definibile a
> partire da una "funzione generatrice".
>
Ciao, si,
e` una conseguenza della validita` della "condizione di Lie", ma la
definizione e` normalmente quella che ho detto io (ovviamente esistono
tante definizioni equivalenti e tu puoi usare quella che vuoi).


> Nel primo caso, si passa dalle variabili (p,q) alle variabili (E, k), ove la
> prima � l' energia del sistema, tramite la funzione generatrice
>
> S(E,q)=\int_0^q \radice[2m(E-V(x)] dx
>
> ove V(q) � il potenziale, m � la massa. E' facile rendersi conto che la
> derivata di S(E,q) rispetto a q d� l' impulso: allora trattasi di una ben
> posta funzione generatrice; la derivata di S(E,q) rispetto ad E sar� allora
> la definizione della nuova variabile k, la cui espressione non scrivo
> esplicitamente. Quel che conta per l' interpretazione di k, infatti, � solo
> che (E,k) sono canoniche: la Hamiltoniana nelle nuove variabili sar�
> semplicemente la funzione identit� nella variabile E:
>
> H(p,q)=H'(E,k)=E
>
> e dalle equazioni di Hamilton segue che E(t) � costante (come ci si
> aspettava) e, soprattutto, che k(t)=t !!!
> Allora la seconda variabile canonica � il tempo.

... pero' fai le cose con calma!
Vedo che stai usando quelle che si chiamano variabili
"angolo azione". Andiamo con calma. Ad ogni fissato tempo t
il sistema e` descrivibile da due paramtri che lo
identificano completamente, tali parametri sono q e p,
con la trasformazione canonica provi che puoi anche
usare i parametri E e k legati biunivocamente a q e p
dalla trasformazione canonica stessa. Fissato t, q e p
li puoi scegliere *arbitrariamente* per dare le condizioni
iniziali. Cio' equivale a dire che fisstao t, E e k li
puoi scegliere arbitrariamente per dare le condizioni
iniziali. Questo fatto *da solo* ti dice che k non e`
il tempo, perche` se lo fosse diresti che
"al tempo t FISSATO, E e t li posso scegliere arbitrarimante"
e questo e` un controsenso.
Pero` e` verissimo che k e` legato al tempo e nel senso che dici
tu.
k e E sono *indipendenti dal tempo* fino a quando
non scegli un moto ossia condizion iniziali.
Le equazioni di Hamilton dicono che *sui moti* la derivata
di k rispetto al tempo e` costante e vale 1.
Quindi preso un moto, vale

k(t) = t + C

dove C e' una costante che e` proprio una delle due condizioni
iniziali (l'altra e` E stesso): C ed E le trovi dalle condizioni
iniziali in q e p tramite la trasformazione canonica.

Quindi NON e` vero che k e` il tempo, ma e` vero, che su ogni
singolo moto k vale quanto il tempo a parte la costante
iniziale *che dipende dal singolo moto*.


> Mi pare, a questo punto, che quantizzare k significhi
> quantizzare il tempo.

 Secondo me non e` vero, perche` k e` il tempo solo
"sui moti classici del sistema" e la relazione tra k e il
tempo *dipende dal moto scelto del sistema* e questa condizione
non e` esprimibile in termini quantistici.
Voglio dire se clasicamente io ti assegno il valore di k tu mi
puoi dire a che tempo t corrisponde *solo se ti dico anche quali
erano le condizioni inziali del sistema*, in altre parole se ti
dico quanto vale C di sopra, Ora prova a tradurre "quantisticamente"
tale fatto e vedrai che e` impossibile...

> Come si risolva il problema dello spettro limitato dell' energia non lo so.

Il probelema si pone ANCHE se k non rappresenta il tempo:
se soddisfacesse le relazioni canoniche (come operatore) con H
saremmo comunque nei guai.

Prima di tutto bisognerebbe prendere k e costruire un operatore K
autoaggiunto che giochi il ruolo di k. Non e` per niente ovvio come
fare:
quando espliciti k in funzione di q e p viene fuori un mostro.
Uso l'hamiltoniano dell'oscillatore armonico p^2/2 + omega^2 q^2/2

k = (1/omega) arcsin( omega q / sqrt(p^2 +omega^2 q^2))

a che cosa corrisponde questo quantisticamente???
NOTA: p e q non commutano per cui non si puo` brutalmente
sostituire a p e q i rispettivi operatori, non vorrebbe dire
niente. Senza rispondere a questo punto non c'e'nemmeno un
candidato quantistico per k e tutti i discorsi sarebbero
campati in aria. Se hai qualche suggerimento io sono qui :-).

La risposta che io ti fornisco e` la seguente: comunque tu
definisci k quantisticamente, non otterrai *mai* che esso e`
autoaggiunto e soddisfa le relazioni canoniche con H
dell'oscillatore armonico (piu' precisamente le relazioni di Weyl).
Questo perche` se cio' fosse H non sarebbe limitato
dal basso e invece sappiamo che lo e`. Ma questo e` indipendente
dal fatto che K rappresenti il tempo o meno.


Ciao, Valter
Received on Wed Aug 08 2001 - 15:03:12 CEST