Re: Equazione differenziale

From: MarRraS <vremotti_at_libero.it>
Date: Fri, 24 Sep 2010 03:04:21 -0700 (PDT)

On 23 Set, 11:54, Elio Fabri wrote:


(Nota- parlo di "condizioni iniziali" CI quando i valori sono
assegnati ad un unico punto,
e di "condizioni al contorno" CC in maniera generica; cioe' CI e' un
caso particolare di CC.).

> Se ho capito bene, tu vuoi assegnare un valore a f"; ma questo, stante
> l'equazione, equivale a chiedere
>
> u(x_1)f'(x_1) + v(x_1)f(x_1) + w(x_1) = 0,
>
> ossia a imporre il valore di una certa combinazione lineare di f e di f'.

Si'.

> In linea di principio si procede cosi'.
>
> Supponiamo note due soluzioni indip. g_1, g_2 dell'equazione omogenea
>
> f''(x) = u(x)f'(x) + v(x)f(x)
>
> e una qualsiasi soluzione f_0 dell'eq. data.
> Allora l'integrale generale dell'eq. e'
>
> f = a*g_1 + b*g_2 + f_0
>
> con a, b qualsiasi (reali o complesse, a seconda del caso).
> Se imponi a f le tue condizioni, ti risulta per a,b un sistema di eq.
> lineari che in generale avra' det. non nullo e ammettera' quindi una
> soluzione unica.
> In questo modo il problema e' risolto.
>
> Ho scritto "in linea di principio" perche' non esiste una procedura
> determinata per trovare g_1, g_2, f_0.
> Ci sono classi di equazioni per cui queste soluzioni sono note, ma le
> possibili eq. sono molte di piu' di quelle incluse in queste classi...
>
> Ma la tua domanda nasceva da un caso concreto, oppure era solo una
> curiosita' generale?

No, vorrei risolvere una specifica equazione, solo che i coefficienti
u,v,w hanno un'espressione veramente complicata (pero' possono essere
valutati numericamente per ogni x) e non mi e' possibile riportarli
qui. Per cui non mi e' molto chiaro come trovare le due soluzioni
indipendenti g_1 e g_2 dell'omogenea associata. Dovrei comunque usare
metodi numerici per risolvere l'omogenea; ma, per farlo, occorrerebbe
specificare delle condizioni al contorno (quali?).
Piu' che altro la mia domanda era: data l'equazione iniziale e il mio
problema di condizioni al contorno da applicare, esistono procedure
numeriche particolari per arrivare velocemente alla soluzione?
Received on Fri Sep 24 2010 - 12:04:21 CEST