Il 21/04/2022 08:32, Elio Fabri ha scritto:
...
> Esercizio:
> In condizioni ideali (Terra a simmetria sferica non rotante, assenza
> di attrito) la pallina di G. continuerà indefinitamente ad andare
> avanti e indietro lungo il piano. Calcolare il periodo (attenti al
> trabocchetto!).
...
Intendo che si voglia studiare solo il moto rettilineo per cui la pallina,
vincolata a muoversi in un piano tangente al polo, passi per il polo.
Siano rt e mt il raggio e la massa della Terra, r la distanza della
pallina dal polo, sia G la costante gravitazionale e k = G mt,
allora l'energia potenziale per unità di massa della pallina è
U(r) = -k / sqrt(rt^2 + r^2),
sia E < 0 J l'energia totale per unità di massa della pallina,
i punti di inversione del moto a r = rmax soddisfano a
E = -k / sqrt(rt^2 + rmax^2),
dalla conservazione dell'energia meccanica si ottiene
1/2 (dr/dt)^2 - k / sqrt(rt^2 + r^2) = E =>
|dr/dt| = sqrt[2(E + k / sqrt(rt^2 + r^2))] =>
T = 4 int_{0}^{rmax} 1/sqrt[2(E + k / sqrt(rt^2 + r^2))] dr
v. il grafico ottenuto integrando numericamente:
https://drive.google.com/file/d/1zHA9uWkcOhS-bPRNHje5-2CTL_NnRmiD/view?usp=sharing
A riprova si può calcolare il periodo delle piccole oscillazioni,
sviluppando intorno a r = 0 m al secondo ordine in r, a meno
di un termine additivo costante si ha
U(r) = 1/2 k / rt^3 r^2,
che è il potenziale di un oscillatore armonico di periodo
T = 2Pi sqrt(rt^3 / k) = 5058 s,
in accordo con il grafico.
PS ho evitato il trabocchetto o ci sono piuttosto cascato? ;-)
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Thu Apr 21 2022 - 20:06:14 CEST