Elio Fabri wrote:
>
> Valter Moretti ha scritto:
> > e` si (anche se non ho capito bene la domanda). La discussione della
> > stabilita`dell'equilibrio mi pare piu` complicata...
> Infatti io non la saprei fare, e non conosco neppure i teoremi che citi
> :(
> Pero' posso mostrare con un famoso esempio quanto possa essere
> controintuitiva la stabilita' dell'equilibrio in presenza di forza di
> Coriolis.
Ciao, c`e` un altro esempio, piu` matematico,
dove si vede che le forze "girostatiche" danno luogo a
stranezze, pero' ora quando si accoppino a forze dissipative.
Mi pare che sia cosi`. Prendi un potenziale repulsivo
radiale in 2D con forza data in modulo da kr dove k>0 e
r e` la distanza dal centro della forza. Poi mettici anche
attrito viscoso: una forza F=-gV, g>0, e infine una
forza girostatica F'= H X V.
Se g=0 il punto di equilibrio diventa stabile se |H|
e` abbastanza grande: accade che tutte le orbite
diventano limitate e si ha stabilita`.
Questo e` strano ma non tantissimo.
La stranezza maggiore e` che se ora aggiungi le forza
viscosa, con g>0 ma piccolo a piacere, la stabilita`
diventa instabilita`. Non ho tempo di fare i calcoli, ma
mi pare che le cose stiano come ho detto.
Rispondo anche a Luca.
Riguardo allo studio della stabilita` dell'equilibrio,
usando il teorema di Lipunov, si arriva al seguente
risultato che dovrebbe rispondere alla domanda dello
studio della stabilita` dell'equilibrio in sistemi non
inerziali.
Se abbiamo un sistema fisico con vincoli ideali indipendenti
dal tempo e con sollecitazioni descritte da un potenziale
generalizzato *indipendente dal tempo*
U(q,q') = U_0(q) + U_1(q,q')
dove U_1 e` lineare in q' (come deve essere), allora, se
q_0 e` configurazione di equilibrio (che equivale
nelle nostre ipotesi a gradU_0(q_0)=0), allora l`equilibrio
e` stabile SE q_0 e` un punto di massimo stretto di U_0.
(La condizione e` solo sufficiente ed anche NON e` piu` detto
che se invece la matrice Hessiana di U_0 in q_0 e` definita
positiva allora l'equilibrio e` instabile, perche` la
stabilita` potrebbe essere ripristinata dalle forze dovute
a U_1 che sono proprio girostatiche, cioe` tipo Coriolis.)
La dimostrazione e` istantanea applicando il teorema di
Liapunov nel caso piu` elementare : l'`hamiltoniana risulta
essere una funzione di Liapunov. (Notare infatti
che facendo i conti H= T - U_0 e quindi non contiene U_1,
e T e` gia` definita positiva per i fatti suoi...)
Lavoriamo con un sistema fisico soggetto a vincoli ideali
indipendenti dal tempo in un sistema *non* inerziale
che pero` ruota a omega COSTANTE rispetto ad un sistema
inerziale. Usando coordinate "ferme" rispetto
al riferimento non inerziale, assumiamo che le forze vere
siano conservative e non dipendano dal tempo (usando le
coordinate del rif non inerziale!).
Sotto queste ipotesi si dimostra che la sollecitazione totale
attiva (reale e apparente) nel rif. non inerziale e`
descritta dallo schema di potenziale generalizzato detto
sopra in funzione delle coordinate ferme nel rif non inerziale.
In particolare
1) il termine U_1 e` quello che descrive la
forza di Coriolis;
2) U_0 tiene conto sia delle forze conservative che di un
termine legato alla forza centrifuga;
3) U_0 = U - T_0
dove U e` il potenziale delle forze
vere e T_0 la parte "T_0" dell'energia cinetica
relativa al riferimento *inerziale*.
In definitiva per sapere se una configurazione di equilibrio
q_0 (che quindi annulla il gradiente di U_0) e` di
equilibrio stabile bisogna vedere se q_0 e` un punto di
massimo stretto di U_0 = U-T_0. Se non lo e`, per questa
via non si puo` dire niente riguardo alla stabilita' o
instabilita`.
Ciao, Valter
Received on Thu Jun 14 2001 - 15:53:49 CEST
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