Re: forza complementare

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Thu, 14 Jun 2001 15:53:49 +0200

Elio Fabri wrote:
>
> Valter Moretti ha scritto:
> > e` si (anche se non ho capito bene la domanda). La discussione della
> > stabilita`dell'equilibrio mi pare piu` complicata...
> Infatti io non la saprei fare, e non conosco neppure i teoremi che citi
> :(
> Pero' posso mostrare con un famoso esempio quanto possa essere
> controintuitiva la stabilita' dell'equilibrio in presenza di forza di
> Coriolis.

 Ciao, c`e` un altro esempio, piu` matematico,
 dove si vede che le forze "girostatiche" danno luogo a
 stranezze, pero' ora quando si accoppino a forze dissipative.
 Mi pare che sia cosi`. Prendi un potenziale repulsivo
 radiale in 2D con forza data in modulo da kr dove k>0 e
 r e` la distanza dal centro della forza. Poi mettici anche
 attrito viscoso: una forza F=-gV, g>0, e infine una
 forza girostatica F'= H X V.
 Se g=0 il punto di equilibrio diventa stabile se |H|
 e` abbastanza grande: accade che tutte le orbite
 diventano limitate e si ha stabilita`.
 Questo e` strano ma non tantissimo.
 La stranezza maggiore e` che se ora aggiungi le forza
 viscosa, con g>0 ma piccolo a piacere, la stabilita`
 diventa instabilita`. Non ho tempo di fare i calcoli, ma
 mi pare che le cose stiano come ho detto.

 Rispondo anche a Luca.
 Riguardo allo studio della stabilita` dell'equilibrio,
 usando il teorema di Lipunov, si arriva al seguente
 risultato che dovrebbe rispondere alla domanda dello
 studio della stabilita` dell'equilibrio in sistemi non
 inerziali.

 Se abbiamo un sistema fisico con vincoli ideali indipendenti
 dal tempo e con sollecitazioni descritte da un potenziale
 generalizzato *indipendente dal tempo*

  U(q,q') = U_0(q) + U_1(q,q')

 dove U_1 e` lineare in q' (come deve essere), allora, se
 q_0 e` configurazione di equilibrio (che equivale
 nelle nostre ipotesi a gradU_0(q_0)=0), allora l`equilibrio
 e` stabile SE q_0 e` un punto di massimo stretto di U_0.

 (La condizione e` solo sufficiente ed anche NON e` piu` detto
 che se invece la matrice Hessiana di U_0 in q_0 e` definita
 positiva allora l'equilibrio e` instabile, perche` la
 stabilita` potrebbe essere ripristinata dalle forze dovute
 a U_1 che sono proprio girostatiche, cioe` tipo Coriolis.)

 La dimostrazione e` istantanea applicando il teorema di
 Liapunov nel caso piu` elementare : l'`hamiltoniana risulta
 essere una funzione di Liapunov. (Notare infatti
 che facendo i conti H= T - U_0 e quindi non contiene U_1,
 e T e` gia` definita positiva per i fatti suoi...)

 Lavoriamo con un sistema fisico soggetto a vincoli ideali
 indipendenti dal tempo in un sistema *non* inerziale
 che pero` ruota a omega COSTANTE rispetto ad un sistema
 inerziale. Usando coordinate "ferme" rispetto
 al riferimento non inerziale, assumiamo che le forze vere
 siano conservative e non dipendano dal tempo (usando le
 coordinate del rif non inerziale!).
 Sotto queste ipotesi si dimostra che la sollecitazione totale
 attiva (reale e apparente) nel rif. non inerziale e`
 descritta dallo schema di potenziale generalizzato detto
 sopra in funzione delle coordinate ferme nel rif non inerziale.
 In particolare
 1) il termine U_1 e` quello che descrive la
 forza di Coriolis;
               
 2) U_0 tiene conto sia delle forze conservative che di un
 termine legato alla forza centrifuga;

 3) U_0 = U - T_0
 dove U e` il potenziale delle forze
 vere e T_0 la parte "T_0" dell'energia cinetica
 relativa al riferimento *inerziale*.

 In definitiva per sapere se una configurazione di equilibrio
 q_0 (che quindi annulla il gradiente di U_0) e` di
 equilibrio stabile bisogna vedere se q_0 e` un punto di
 massimo stretto di U_0 = U-T_0. Se non lo e`, per questa
 via non si puo` dire niente riguardo alla stabilita' o
 instabilita`.

 Ciao, Valter
Received on Thu Jun 14 2001 - 15:53:49 CEST