Re: ricerca radici di polinomio di grado qualsiasi (anche non intersecante, ma solo tangente, l'asse X)

From: lefthand <nontelodico_at_qui.da.me>
Date: Fri, 4 Jan 2013 22:34:55 +0100 (CET)

Il Fri, 04 Jan 2013 17:43:06 +0100, Soviet_Mario ha scritto:


> confesso di non avere mai studiato cosa significhi essere fattorizzato.
> Significa non possedere termine noto ? O essere esprimibili come un
> prodotto di quantità ? Altre ed eventuali ...

La seconda che hai detto, e l'hai studiato eccome, in prima liceo ;-)

>> Non esistono formula analitiche per il V grado, figuriamoci per i
>> sistemi. A cosa pensavi, a un SuperCramer generalizzato?
>
> no, non pensavo a niente, nel senso che non ne sapevo niente, e la prima
> cosa che ho trovato appena ho fatto ricerche era che non fossero
> risolvibili con metodi deterministici come può esserlo, dimensionamento
> permettendo, il Gauss Jordan.

Ma quello è per i sistemi lineari: quello che ci avevi prospettato non
era nemmeno un sistema (se non in senso strettamente logico: un sistema è
una congiunzione logica di enunciati aperti), era una collezione di
equazioni indipendenti.
 
> Tuttavia in base a una cosa che Elio mi aveva spiegato un tempo, e che
> non ritrovo più (e non me la spiegherà di nuovo visto che ho già fatto
> perdere del tempo prezioso in questo 3D che si è piegato in una
> direzione diversa da quella iniziale), ossia che qualunque polinomio di
> grado N in una variabile poteva sempre essere convertito in un sistema
> lineare in N variabili indipendenti (? questa aggiunta forse è un falso
> ricordo e l'ho messa io) di primo grado,

Mi sa che ti stai confondendo con il problema dell'interpolazione
polinomiale: un polinomio di grado n si può determinare conoscendo n+1
coppie (x, p(x)) con xi<>xj e impostando un sistema lineare nel quale le
incognite sono i coefficienti del polinomio

> e anche viceversa,

non oso chiedere...

> in effetti mi ero detto :
> se un polinomio diventa un sistema, R polinomi diventano un sistema di R
> sistemi ... però non mi ero messo a fare il computo di quante equazioni
> e quante variabili sarebbero saltate fuori, sia perché a naso mi
> aspettavo una lievitazione delle variabili tale da rendere indeterminato
> il sistema, sia perché tanto non me la ricordavo più quella procedura
> per sistemizzare linearmente un polinomio o per conglobare una matrice
> lineare in un solo polinomio di grado opportuno.

:-( lasciamo perdere...

> ok, esatte intendo senza fare scientemente approssimazioni dipendenti da
> condizioni al contorno. Tipo ridurre al primo grado un'equazione di
> secondo perché i suoi coefficienti sono tali che il delta è molto
> piccolo in rapporto ai coefficienti a e b.

Guarda che è quello che si fa in molti algoritmi iterativi, e la cosa non
impedisce di ottenere soluzioni con la precisione desiderata.

> Si, hanno variabili diverse ... Ma erano le COSTANTI ad essere in
> comune, sono punti di incollatura : vincoli reciproci ...

e quindi NON SONO costanti: piccolo dettaglio

> e soprattutto
> non sono nemmeno costanti salvo nell'istante del singolo calcolo, non
> nel tempo se assumiamo una evoluzione temporale.

dicevi delle semplificazioni ad hoc: alla faccia della semplificazione,
scusa la franchezza. Immagino che l'evoluzione temporale corrisponda al
tempo impiegato dalle tue X a portarsi sulle "soluzioni"

> Una procedura analitica sarebbe tempo indipendente, ma ha un senso per
> un unico polinomio, o matematicamente è un vicolo cieco

Non è detto: in fin dei conti bisogna vedere se quello che vuoi è una
soluzione nel senso n-pla di funzioni che descrivono l'evoluzione del
sistema nel tempo o nel senso dei valori limite delle tue X
all'equilibrio, cioè con derivate uguali a zero.
Per esempio, altro è scrivere la funzione che descrive la carica
accumulata sulle armature di un condensatore sotto tensione in un
circuito con resistenza, che richiede la risoluzione di un'equazione
differenziale, altro è calcolare il valore limite, quando il condensatore
è totalmente carico, che è semplicemente Q = C*DeltaV.

> ed è vero : l'incognita è sua e solo sua. Ma il fattore costante è
> spesso condiviso con altre equazioni, poiché rappresenta una specie
> chimica (un componente indipendente direbbe Gibbs). Ogni polinomio vuole
> tirarla dove ritiene meglio, e spesso diverse equazioni tirano una
> "costante" (la componente chimica) in direzioni antitetiche.

E quindi non è costante ma dipende da X, e da Y, e da...

>> e quindi eventualmente la sua n-pla di soluzioni:
>> una per la X, una per la Y, una per...
>> Dovresti parlare di prodotto (cartesiano), piuttosto.
>
> Non so cosa significhi ...
 
Se ogni equazione ha le sue soluzioni, l'insieme delle soluzioni del
sistema ha come elementi le n-ple ordinate di elementi tali che il primo
è soluzione della prima eq., il secondo è soluzione della seconda ecc. in
tutte le combinazioni possibili: prodotto cartesiano. E se una delle
equazioni non avesse soluzione, il prodotto cartesiano sarebbe vuoto.
 
>> Cosa intendi con il mettere "matematicamente" tra virgolette?
>
> intendevo che in un sistema di equazioni messa a sistema c'è un legame
> diverso, perché nessuna equazione va ad alterare i termini noti delle
> altre.
> Le mie si. L'evoluzione temporale le tratta più come equazioni
> differenziali che altro. Ogni stato è figlio del precedente, per
> opportuni valori delle incognite "stimate" e delle concentrazioni dello
> stadio precedente.

Mi sembra che tu abbia un'idea un po' particolare di cosa è un sistema.
insomma, quelli che chiami "termini noti", e che io chiamerei in senso
ampio "coefficienti", sono in realtà funzioni delle varie X, ed esistono
dei vincoli ulteriori per questi coefficienti. E non c'è niente di strano
nel fatto che da un problema come quello a cui hai fatto cenno (e che mi
riprometto di capire meglio ;-) generi un sistema di equazioni
differenziali.
A meno che non lo si prenda come un problema di ricerca operativa, con
dei vincoli e una funzione obiettivo da massimizzare o minimizzare: in
quel caso non ci si pone il problema di seguire temporalmente
l'evoluzione. E' anche vero che l'evoluzione del sistema potrebbe essere
verso un massimo locale e non necessariamente globale.

> si. La rapidità credo sia già integrata nell'attribuire ad ogni
> equazione, con le sue esigenze, il PESO FISICO, proporzionale al suo
> scartamento energetico dall'equilibrio (pesi che poi rinormalizzo tra
> tutte per rendere le procedure di variazione indipendenti dall'operare
> lontano o vicino all'equilibrio stesso).

Ma se sei lontano dall'equilibrio ti spetti una correzione più rapida, no?

> Posso anche scrivere un sistema siffatto, ma non credo che sarebbe più
> d'una noia da scrivere, avendo preso atto che non ci sono procedure
> analitiche di risoluzione (e che risolvere i singoli polinomi nemmeno
> serve a nulla).
>
> P.S. l'algoritmo cmq ora funge, ergo il mio problema è risolto. Ho anche
> dato una limatina alla velocità, passando dal calcolo di prodotti di
> potenze alla somma di logaritmi. Tanto quando poi andavo a calcolare
> l'energia dovevo comunque passare ai log.
> Ora non so se computazionalmente sia più veloce o meno, a naso non so
> stimare se sia più veloce chiamare POW o LOG, ma penso che quantomeno
> risparmio sulle addizioni e una divisione rispetto a somme e una
> sottrazione.
> Non altera certo l'O(n) della procedura, ma limare gratis fa sempre
> piacere ciao CCCP

Ancora una cosa, a proposito di metodi "approssimati" o "deterministici":
anche per i sistemi lineari non è detto che i cosiddetti metodi
deterministici siano i migliori, più efficienti o più precisi; nei metodi
di eliminazione, per esempio, ci può essere un accumulo di errori che
porta a soluzioni in effetti non corrette, anche se in teoria il metodo è
assolutamente preciso; nei metodi iterativi, al contrario, se ben
strutturati, gli errori di approssimazione vengono "tirati giù" al
passaggio successivo, per cui sovente vengono preferiti ai vari Gauss ecc.
Di Cramer non parliamone nemmeno, visto che la sua complessità esplode
fattorialmente (in realtà è un metodo che ha un'importanza solo teorica).
Ciao


--
"Oggi la scienza ha scoperto come asportare il cuore di un uomo [...].
E la propaganda è riuscita in più occasioni ad asportare la mente di
intere nazioni." (Brian Fawcett, Cambogia)
Received on Fri Jan 04 2013 - 22:34:55 CET