Re: ricerca radici di polinomio di grado qualsiasi (anche non intersecante, ma solo tangente, l'asse X)

From: Soviet_Mario <Soviet.Mario_at_CCCP.MIR>
Date: Mon, 07 Jan 2013 18:35:59 +0100

Il 04/01/2013 22:34, lefthand ha scritto:
> Il Fri, 04 Jan 2013 17:43:06 +0100, Soviet_Mario ha scritto:
>
>
>> confesso di non avere mai studiato cosa significhi essere fattorizzato.
>> Significa non possedere termine noto ? O essere esprimibili come un
>> prodotto di quantit� ? Altre ed eventuali ...
>
> La seconda che hai detto, e l'hai studiato eccome, in prima liceo ;-)

non ne sono sicuro, se non con terminologia diversa, e meno
formalizzata ...

>
>>> Non esistono formula analitiche per il V grado, figuriamoci per i
>>> sistemi. A cosa pensavi, a un SuperCramer generalizzato?
>>
>> no, non pensavo a niente, nel senso che non ne sapevo niente, e la prima
>> cosa che ho trovato appena ho fatto ricerche era che non fossero
>> risolvibili con metodi deterministici come pu� esserlo, dimensionamento
>> permettendo, il Gauss Jordan.
>
> Ma quello � per i sistemi lineari:

beh, non ho tendenze a estrapolare in positivo ... ma
nemmeno in negativo. Non ero sicuro che non fosse
estensibile ai gradi superiori.

> quello che ci avevi prospettato non
> era nemmeno un sistema (se non in senso strettamente logico: un sistema �
> una congiunzione logica di enunciati aperti), era una collezione di
> equazioni indipendenti.

no, indipendenti no, solo le incognite erano indipendenti (e
lo sono rimaste), ma non avevo colto la non costanza dei
termini noti, n� la mutua interinfluenzabilit� a quel livello.

>
>> Tuttavia in base a una cosa che Elio mi aveva spiegato un tempo, e che
>> non ritrovo pi� (e non me la spiegher� di nuovo visto che ho gi� fatto
>> perdere del tempo prezioso in questo 3D che si � piegato in una
>> direzione diversa da quella iniziale), ossia che qualunque polinomio di
>> grado N in una variabile poteva sempre essere convertito in un sistema
>> lineare in N variabili indipendenti (? questa aggiunta forse � un falso
>> ricordo e l'ho messa io) di primo grado,
>
> Mi sa che ti stai confondendo con il problema dell'interpolazione

pu� essere che non abbia capito una mazza e di avere quindi
falsi ricordi.
Tuttavia ricordo che non si parlava di interpolare, bens� di
"cambiare notazione" da sistema lineare a equazione di grado
appropriato equivalente, e viceversa.

> polinomiale: un polinomio di grado n si pu� determinare conoscendo n+1
> coppie (x, p(x)) con xi<>xj e impostando un sistema lineare nel quale le
> incognite sono i coefficienti del polinomio
>
>> e anche viceversa,
>
> non oso chiedere...
>
>> in effetti mi ero detto :
>> se un polinomio diventa un sistema, R polinomi diventano un sistema di R
>> sistemi ... per� non mi ero messo a fare il computo di quante equazioni
>> e quante variabili sarebbero saltate fuori, sia perch� a naso mi
>> aspettavo una lievitazione delle variabili tale da rendere indeterminato
>> il sistema, sia perch� tanto non me la ricordavo pi� quella procedura
>> per sistemizzare linearmente un polinomio o per conglobare una matrice
>> lineare in un solo polinomio di grado opportuno.
>
> :-( lasciamo perdere...
>
>> ok, esatte intendo senza fare scientemente approssimazioni dipendenti da
>> condizioni al contorno. Tipo ridurre al primo grado un'equazione di
>> secondo perch� i suoi coefficienti sono tali che il delta � molto
>> piccolo in rapporto ai coefficienti a e b.
>
> Guarda che � quello che si fa in molti algoritmi iterativi, e la cosa non
> impedisce di ottenere soluzioni con la precisione desiderata.
>
>> Si, hanno variabili diverse ... Ma erano le COSTANTI ad essere in
>> comune, sono punti di incollatura : vincoli reciproci ...
>
> e quindi NON SONO costanti: piccolo dettaglio

lo sono all'interno di ciascuna singola iterazione,
assumendo di usare un metodo evolutivo.
Quando avevo pensato di poter risolvere tutto in un unico
colpo, avevo pensato di considerarle costanti e basta.

>
>> e soprattutto
>> non sono nemmeno costanti salvo nell'istante del singolo calcolo, non
>> nel tempo se assumiamo una evoluzione temporale.
>
> dicevi delle semplificazioni ad hoc: alla faccia della semplificazione,
> scusa la franchezza. Immagino che l'evoluzione temporale corrisponda al
> tempo impiegato dalle tue X a portarsi sulle "soluzioni"

La strategia evolutiva � stata una strada che ho intrapreso
dopo.
Inizialmente pensavo di poterla evitare con una risoluzione
in una sola botta, analitica diciamo (o meglio iterativa ma
relativamente a ciascun singolo polinomio, e non all'insieme
complesso)

>
>> Una procedura analitica sarebbe tempo indipendente, ma ha un senso per
>> un unico polinomio, o matematicamente � un vicolo cieco
>
> Non � detto: in fin dei conti bisogna vedere se quello che vuoi � una
> soluzione nel senso n-pla di funzioni che descrivono l'evoluzione del
> sistema nel tempo o nel senso dei valori limite delle tue X
> all'equilibrio, cio� con derivate uguali a zero.

la seconda che hai detto : non mi interessano le equazioni,
perch� sono gi� note a priori, ma le concentrazioni di
equilibrio.

> Per esempio, altro � scrivere la funzione che descrive la carica
> accumulata sulle armature di un condensatore sotto tensione in un
> circuito con resistenza, che richiede la risoluzione di un'equazione
> differenziale, altro � calcolare il valore limite, quando il condensatore
> � totalmente carico, che � semplicemente Q = C*DeltaV.

beh, a me interessa la carica di equilibrio, ma siccome mi
interessa potenzialmente in ogni situazione (tensione
applicata), � chiaro che questo deve basarsi sulla gestione
di quelle equazioni, note, che generano la soluzione.

>
>> ed � vero : l'incognita � sua e solo sua. Ma il fattore costante �
>> spesso condiviso con altre equazioni, poich� rappresenta una specie
>> chimica (un componente indipendente direbbe Gibbs). Ogni polinomio vuole
>> tirarla dove ritiene meglio, e spesso diverse equazioni tirano una
>> "costante" (la componente chimica) in direzioni antitetiche.
>
> E quindi non � costante ma dipende da X, e da Y, e da...

E' difficile spiegarmi, non ho una terminologia adatta.

C_next = C_prev + Sum(X, Y, Z, W ...)

dove C_prev era la costante dello stadio in corso, X, Y, Z,
W sono i contributi delle sole equazioni che influenzano
"C", e C_next diventa di nuovo una costante, un termine
noto, per lo stadio successivo.

A livello di calcolo delle radici di un solo polinomio,
computazione TIME-INDEPENDENT, si ha solo una incognita (o X
o Y o Z o W) e la costante ha un solo valore.
Ma poi quel valore cambia quando andr� a sommarci tutti i
contributi

>
>>> e quindi eventualmente la sua n-pla di soluzioni:
>>> una per la X, una per la Y, una per...
>>> Dovresti parlare di prodotto (cartesiano), piuttosto.
>>
>> Non so cosa significhi ...
>
> Se ogni equazione ha le sue soluzioni, l'insieme delle soluzioni del
> sistema ha come elementi le n-ple ordinate di elementi tali che il primo
> � soluzione della prima eq., il secondo � soluzione della seconda ecc. in
> tutte le combinazioni possibili: prodotto cartesiano. E se una delle
> equazioni non avesse soluzione, il prodotto cartesiano sarebbe vuoto.
>
>>> Cosa intendi con il mettere "matematicamente" tra virgolette?
>>
>> intendevo che in un sistema di equazioni messa a sistema c'� un legame
>> diverso, perch� nessuna equazione va ad alterare i termini noti delle
>> altre.
>> Le mie si. L'evoluzione temporale le tratta pi� come equazioni
>> differenziali che altro. Ogni stato � figlio del precedente, per
>> opportuni valori delle incognite "stimate" e delle concentrazioni dello
>> stadio precedente.
>
> Mi sembra che tu abbia un'idea un po' particolare di cosa � un sistema.
> insomma, quelli che chiami "termini noti", e che io chiamerei in senso
> ampio "coefficienti",

accetto ! :-)

> sono in realt� funzioni delle varie X,

direi piuttosto il contrario, che le varie X sono funzioni
dei coefficienti, in quanto le incognite nascono come
compensazioni di squilibri delle concentrazioni.

> ed esistono
> dei vincoli ulteriori per questi coefficienti. E non c'� niente di strano
> nel fatto che da un problema come quello a cui hai fatto cenno (e che mi
> riprometto di capire meglio ;-) generi un sistema di equazioni
> differenziali.

l'ho intuito tardi e in modo oscuro, ma posso dire che col
senno di poi sembra essere un modello adatto a trattare il
problema. In quel senso la computazione in un colpo,
Time-Independent, non l'ho saputa impostare, ed era qualcosa
di pi� complesso che non la ricerca delle soluzioni dei
singoli polinomi.
Una sorta di integrazione fino a tempo infinito, insomma, boh

> A meno che non lo si prenda come un problema di ricerca operativa, con
> dei vincoli e una funzione obiettivo da massimizzare o minimizzare: in
> quel caso non ci si pone il problema di seguire temporalmente
> l'evoluzione.

� proprio come hai detto. A me l'evoluzione temporale
transitoria non interessa, solo che non non ho imparato a
risolvere in una botta sola.

> E' anche vero che l'evoluzione del sistema potrebbe essere
> verso un massimo locale e non necessariamente globale.

Invece deve fisicamente convergere ad una situazione di
equilibrio che significa energia libera zero e nessuna
variazione temporale di concentrazione.
Ogni polinomio, calcolato allo stato finale, deve replicare
il valore della costante di equilibrio (l'unico coefficiente
realmente invariante, uno per reazione).

>
>> si. La rapidit� credo sia gi� integrata nell'attribuire ad ogni
>> equazione, con le sue esigenze, il PESO FISICO, proporzionale al suo
>> scartamento energetico dall'equilibrio (pesi che poi rinormalizzo tra
>> tutte per rendere le procedure di variazione indipendenti dall'operare
>> lontano o vicino all'equilibrio stesso).
>
> Ma se sei lontano dall'equilibrio ti spetti una correzione pi� rapida, no?

� hot wired nel fatto di applicare sempre incrementi o
decrementi percentuali. Quando una specie da consumare
ulteriormente ha una conc. alta, viene consumata in fretta,
quando � gi� quasi esaurita, il consumo scende
proporzionalmente.
E' una dinamica esponenziale (Anche se ad esponente non
costante per la rinormalizzazione). LOL, questa �
esponenziale in senso letterale :-)

>
>> Posso anche scrivere un sistema siffatto, ma non credo che sarebbe pi�
>> d'una noia da scrivere, avendo preso atto che non ci sono procedure
>> analitiche di risoluzione (e che risolvere i singoli polinomi nemmeno
>> serve a nulla).
>>
>> P.S. l'algoritmo cmq ora funge, ergo il mio problema � risolto. Ho anche
>> dato una limatina alla velocit�, passando dal calcolo di prodotti di
>> potenze alla somma di logaritmi. Tanto quando poi andavo a calcolare
>> l'energia dovevo comunque passare ai log.
>> Ora non so se computazionalmente sia pi� veloce o meno, a naso non so
>> stimare se sia pi� veloce chiamare POW o LOG, ma penso che quantomeno
>> risparmio sulle addizioni e una divisione rispetto a somme e una
>> sottrazione.
>> Non altera certo l'O(n) della procedura, ma limare gratis fa sempre
>> piacere ciao CCCP
>
> Ancora una cosa, a proposito di metodi "approssimati" o "deterministici":
> anche per i sistemi lineari non � detto che i cosiddetti metodi
> deterministici siano i migliori, pi� efficienti o pi� precisi; nei metodi
> di eliminazione, per esempio, ci pu� essere un accumulo di errori

ah beh certo, se non lavori con rappresentazioni astratte e
"lossless" dei numeri, ma con banali operazioni floating
point, anche risolvere un monocalcolo banale pu� rifilarti
fregature ! Stranamente, per quanto ignorante in matematica,
non mi faccio infinocchiare facilmente dalle bizze della
programmazione.

> che
> porta a soluzioni in effetti non corrette, anche se in teoria il metodo �
> assolutamente preciso;

certo certo, diciamo che � fatta salva l'eleganza e l'amor
proprio, e solo quelli.

> nei metodi iterativi, al contrario, se ben
> strutturati, gli errori di approssimazione vengono "tirati gi�" al
> passaggio successivo, per cui sovente vengono preferiti ai vari Gauss ecc.
> Di Cramer non parliamone nemmeno, visto che la sua complessit� esplode
> fattorialmente (in realt� � un metodo che ha un'importanza solo teorica).

Si Cramer non lo cagai proprio :-)
Cmq introdurr� qualche controllo di coerenza tra lo stato
iniziale e quello convergiuto : tipo la costanza delle
quantit� di ogni singola specie chimica o atomo presente,
tanto per vedere come evolvono questi errori.
Ciao
CCCP

> Ciao
>
>


--
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)
Received on Mon Jan 07 2013 - 18:35:59 CET