Re: Espansione dello spazio

From: Massimo S. <smassimo_at_mail.com>
Date: Mon, 19 Mar 2001 15:12:20 +0100

Elio Fabri wrote:
> Forse e' il caso di prendere il toro per le corna, ossia di affrontare
> il calcolo come va fatto "sul serio"...
> Le ipotesi sono le seguenti: spazio-tempo omogeneo e isotropo, quindi
> geometria detta "di Robertson-Walker".
> Tralasciamo tutte le coordinate spaziali tranne una: allora la metrica
> si puo' scrivere
> ds^2 = R^2 (dv^2 - du^2),
> dove v e' la coord. temporale, u quella spaziale, e R (raggio
> dell'Universo, o parametro di scala) e' funzione solo di v.

Mi scuso se rispondo dopo molto tempo ma non ho avuto tempo.
Le mie (superficiali) conoscenze si fermano alla relativit� ristretta
dove ds^2 = dv^2 - du^2
Quindi non ho idea di come salti fuori ds^2 = R^2 (dv^2 - du^2),
immagino che descriva uno spazio tempo in qualche modo curvo.
Comunque, non potendo certo da lei pretendere un corso di RG per
corrispondenza, prendo tale formula per buona.

1>
2> La propagazione della luce si ricava subito, poiche' sappiamo che le
3> curve orarie (geodetiche) della luce hano lunghezza nulla. Quindi
4> dv^2 - du^2 = 0,
5> che fornisce, integrando: u = +/- v + costante.
6> Il doppio segno si spiega: ci sono due versi di propagazione della
luce.
7> Scegliamo ad es. il segno +. Dunque u = v + cost.
8> La costante e' fissata dalla condizioni iniziali. Supponiamo che la
luce
9> parta al "tempo" v = v(A), dall'origine (u(A) = 0). Allora
1> u(B) = v(B) - v(A). (1)
2> Piu' facile di cosi'...
3> Pero' bisogna interpretare la formula...
4>
5> Prima di tutto: dire che A e B sono fermi, significa dire che la loro
6> coordinata spaziale non varia. Dovremo dunque trattare u(A) e u(B)
come
7> costanti fissate una volta per tutte.
8>
9> Che tempo misurano A e B? Lo si vede dalla metrica. Un orologio fermo
in
0> A (oppure in B) ossia con u costante, ha ds^2 = R^2 dv^2; quindi il
suo
1> tempo proprio e'
2> tau = \int R(v) dv. (2)
3> La relazione fra tau e v non puo' essere decisa se non si conosce la
4> funzione R(v).
5>
6> Quanto vale, e come varia, la distanza fra A e B? Questa distanza va
7> misurata "allo stesso tempo", ossia per v fissato. Allora, sempre
dalla
8> metrica:
9> ds^2 = -R^2 du^2.
0> Il segno meno non deve spaventare: trattandosi di separazione
spaziale,
1> e' il segno giusto, con la convenzione dei segni che ho scelto. Per
la
2> distanza dl avro'
3> dl = R du
4> che s'integra subito (v e' costante, quindi lo e' anche R):
5> l = R u(B)
6> (ricorda che u(A) = 0).
7> L'interpretazione e' semplice: la distanza l varia *perche' varia R*,
8> sebbene A e B siano "fermi"... Tutte le distanze variano in
proporzione
9> a R.
0> Nota che per questa ragione non si puo' parlare di "SR solidale con i
1> due punti".

Non riesco a capire una cosa: abbiamo detto che u(A) e u(B) sono
costanti quindi con l non intende la distanza spaziale tra essi (perch�
essa sar� u(B) - u(A) e quindi costante anche essa) ma la distanza
spaziotemporale.
Quindi l varia con v ma varia solo la sua componente temporale non
quella spaziale.
Ma non stavamo studiando un universo in espansione?
Se la distanza spaziale tra A e B rimane costante dov'� questa
espansione?

Mentre formulavo questa domanda se ne � formata un'altra nella mia
testa.
Normalmente (in teorie non relativistiche) quando si dice che una
grandezza � costante si sottointende che � costante rispetto al tempo,
ovvero all'unico tempo che entra in gioco, quello "vero e matematico che
scorre uniformente senza essere influenzato da alcunch�" di Newton.
In relativit� dove il tempo � in generale diverso in SR diversi rispetto
a quale tempo � costante una costante?

1>
2> Per rispondere alla tua domanda, bisogna sincronizzare gli orologi di
A
3> e di B, cosa che in generale e' impossibile, proprio perche' non
esiste
4> un rif. comune. Pero' nel caso del nostro modello di Universo siamo
5> fortunati. Dato che l'Universo e' omogeneo, possiamo accordarci di
far
6> partire i due orologi quando una qualche proprieta' fisica (per es.
la
7> temperatura della radiazione di fondo, o la densita' della materia)
8> assumono lo stesso valore in A e in B. Questo accade, per
definizione,
9> allo stesso v.
0> Allora il tempo richiesto e'
1> tau = \int R(v) dv
2> come dice la (2), dove l'integrale va fatto tra v(A) e v(B), e
3> v(B) = v(A) + u(B) per la (1).
4>
5> Come vedi, ho trattato il caso di espansione continua, e la risposta
6> alla tua domanda finale e' implicita: la luce da A raggiunge sempre
B.
7> Anzi, possiamo porci un'altra domanda: se provassimo a misurare la
vel.
8> della luce come rapporto fra la distanza l e il tempo tau trovati,
che
9> cosa verrebbe fuori?
0> Risposta: dipende, perche' la distanza l cambia nel tempo in cui la
luce
1> viaggia. Se guardi le espressioni di l e di tau, e tieni presente che
2> abbiamo supposto R(v) crescente, vedi subito che il rapporto l/tau
e' <
3> 1 se lo calcoli con la l iniziale, ma e' > 1 se calcolato con la l
4> finale.
5> Il che naturalmente non vuol dire che la vel. della luce sia > 1.
Quel
6> rapporto *non e'* la vel. della luce, che va misurata *localmente*,
in
7> vicinanza di un dato punto e in un intervallo di tempo piccolo
8> (infinitesimo). Se fai cosi' trovi sempre 1.
9>
0> Se vuoi vedere le cose in modo piu' concreto, prova a prendere R(v) =
k
1> v^2, che e' un modello di universo molto ragionevole.
2> --

Ho provato a fare i conti con questo R ma non ha risolto i miei dubbi.

Saluti.

P.S. Ho usato l'espediente dei numeri per quotare tutto il post senza
che venga respinto dal robomoderatore.
So che questo non si dovrebbe fare ma visto che � passato molto tempo da
quanto il post apparve nell'NG l'ho ritenuto opportuno in questo caso.
Received on Mon Mar 19 2001 - 15:12:20 CET