Re: Delta di Dirac

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: Sat, 10 Mar 2001 16:14:15 +0200

Albert wrote:
>
> Salve a tutti.
> vorrei sapere che cos'� esattamente la funzione delta di Dirac, quali sono
> le sue caratteristiche e in che applicazioni si usa.
> Ciao e grazie
>

Ciao, si tratta di una funzione che prende come argomenti
funzioni infinitamente differenziabili di R in R o semplicemente
solo continue (se la vedi come una "misura di Riemann-Stiltis") e
vi associa numeri. Piu' precisamente se consideri la "funzione"
"delta di p" che indichero' con d_p, dove p e' un numero reale,
quando tale "funzione" agisce sulla funzione continua f, il
risultato e' f(p). In formule cio' si scrive

            < d_p, f > = f(p).
 
Conviene spesso pensare (e questa era l'idea originale di Dirac)
formalmente l'azione di d_p su f come il calcolo di un integrale
del tipo:

<d_p, f > = int d_p(x) f(x) dx

dove l'integrale e' esteso a tutta la retta reale e la "funzione"
(questa volta di x) impropria d_p(x) e' una funzione che vale
 "0 ovunque e +oo in p"
ed ha integrale pari a 1. Usando l'integrazione per parti
si riesce a dare un senso formale a concetti come derivata della
delta o di altre distribuzioni (vedi sotto).

Questo modo formale di vedere la cosa ha dato origine a quella
che si chiama "teoria delle distribuzioni". La delta di Dirac
e' una delle piu' semplici "funzioni improprie" o distribuzioni.
Le distribuzioni servono in vari problemi di fisica matematica
o teoria dei segnali perche' permettono spesso di risolvere
facilmente equazioni differenziali: si trovano delle soluzioni
dette "in senso debole", che in realta' sono distribuzioni e poi
da esse si ricavano soluzioni "vere". Questo modo di procedere
e' stato poi sviluppato nella teoria degli spazi di Sobolev che
e' potentissima per risolvere problemi di analisi applicata
ed ha largo uso in meccanica quantistica fatta rigorosamente
(per chi e' addentro alle cose: e' uno strumento potente per
studiare i problemi di autoaggiunzione degli operatori).

Ciao, Valter
Received on Sat Mar 10 2001 - 15:14:15 CET