Re: Moto armonico

From: Mino Saccone <mino.saccone_at_tin.it>
Date: Wed, 24 Jan 2001 14:13:11 GMT

"Timoteo" <ileniagrazia_at_libero.it> ha scritto nel messaggio
news:oCk96.73323$eB2.5857132_at_news.infostrada.it...
> Il moto armonico � caratterizzato dalla presenza di forze
elastiche?
> Io ho trovato due testi con versioni discordanti riguardo
questo quesito.Voi
> cosa ne pensate? Grazie:-)

Il moto armonico puo' essere definito come un moto con legge
oraria sinusoidale.

Tale moto presenta un'accelerazione opposta di verso e
proporzionale in modulo allo spostamento dalla posizione
centrale.

Questa caratteristica si ritrova in una massa attaccata a
una molla che, quindi, si muove di moto armonico.

Si ritrova altresi' in tutte le condizioni di equilibrio di
un sistema a vincoli bilateri se consideriamo solo piccoli
spostamenti che ci consentono di "linearizzare" le equazioni
e cio' senza nessun bisogno di elementi elastici. Basta
ricordare lo strafamoso lampadario della cattedrale di Pisa
che diede a Galileo l'intuizione dell'isocronismo. In altre
parole, e' evidente, in questo caso semplice, che le
"piccole" oscillazioni di un pendolo costituiscono un moto
armonico anche senza molle.

Quanto sopra e' vero anche per sistemi non meccanici. Tutte
le volte che si puo' "linearizzare" un sistema, quando cioe'
tutte le variabili indipendenti, le loro derivate prime e
seconde rispetto al tempo sono legate tra loro da un sistema
di equazioni lineari, si puo' dimostrare che ognuna di
queste variabili evolve nel tempo secondo una delle seguenti
leggi:

1) esponenziali cresc Xi = A exp(t / tau)
2) esponenziali decr Xi = A exp(-t / tau)
3) sinusoidi costanti Xi = A sen(omega * t + alfa)
4) sinusoidi smorzate Xi = A exp(t /tau) sen(omega * t + alfa)
5) sinusoidi crescenti Xi = A exp(-t /tau) sen(omega * t + alfa)

dove:

Xi e' il valore della variabile i-esima
A e alfa sono le classiche costanti arbitrarie che saranno
calcolate imponendo le condizioni iniziali.
t e' il tempo corrente
tau ha le dimensioni di un tempo e si intende positivo
omega ha le dimensioni di un tempo alla -1 e si intende
positivo

Tutto cio' finche' possiamo ancora dirci lineari. Per
esempio un oscillatore elettronico potrebbe, all'accensione
dell'apparecchio, comportarsi come una sinusoide crescente
(esponenziale positivo). Questo lo porterebbe a tendere a
infinito. Cio' e' impossibile infatti i limiti del sistema
(p.es. la tensione di alimentazione) lo farebbero uscire
dalla "zona lineare" e quindi, in questo caso, non crescere
piu'.

Un pendolo ideale (senza attriti) si comporta secondo la 3)
Un pendolo con attriti viscosi si comporta secondo la 5)
Un pendolo con fortissimi attriti viscosi puo' arrivare a
comportarsi come la 2)

Quanto appena detto per i pendoli vale ovviamente anche per
le massette attaccate alle molle.

Spero di non aver esagerato

Saluti

Mino Saccone
Received on Wed Jan 24 2001 - 15:13:11 CET