Re: Si può derivare la forza di Lorentz direttamente dalle equazioni di Maxwell?

From: Michele Andreoli <luogosano_at_gmail.com>
Date: Sat, 8 Oct 2022 10:35:08 -0700 (PDT)

Il giorno sabato 8 ottobre 2022 alle 08:10:03 UTC+2 Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 07/10/22 20:22, Michele Andreoli ha scritto:
> >...la densità di energia del campo e.m., la
> > cui espressione si ricava dalla sola parte di campo tr(F^2), ....
>
> E come fai a sapere che tr(F^2) è l'energia del campo se hai a
> disposizione solo le equazioni per i campi liberi?
>

Beh, una volta che uno ha definito il tensore antisimmetrico Fij, l'unica lagrangiana invariante
e quadratica nei campi che si può scrivere è tr(F^2), per cui non è che si hanno tante scelte.

> Mi sembra che il punto chiave della questione sia che misuriamo
> *variazioni* di energia. E senza l'espressione di come i campi dipendono
> dalle sorgenti (equivalente al termine di interazione) è un po' dura
> sperare di venirne fuori.

>Giorgio Pastore

Io forse mi sono spiegato male, e in qualche punto ho parlato di lagrangiana libera. Però non intendevo usare nel ragionamento
la lagrangiana libera. In quel caso, infatti, l'esercizio del condensatore non si potrebbe fare.

Infatti, se è vero che l'energia del condesatore la posso calcolare moltiplicando
la densità di energia per il volume U=(u*V), apparentemente senza usare cariche elettriche, e quindi con la
sola lagrangiana libera, e che la forza tra le piastre è f=dU/dx, per calcolare questa derivata io ho
bisogno dell'espressione del campo di una piasta E=sigma/eps_0, altrimenti non mi viene f=cost*q*E
(anzi, non mi viene neanche q :-))

Se l'accoppiamento materia-campi fosse diverso, a parità di equazioni di Maxwell nel vuoto,
-- ad esempio, se avessimo div(E)=rho^2/eps_0 invece che div(E)=rho/eps_0-- il condensatore avrebbe
 la stessa energia u*V, la pressione sulle piastre sarebbe la stessa, ma la forza avrebbe un'espressione diversa.

Resta il fatto che io ho sempre letto frasi tipo: le equazioni complete di Maxwell descrivono come la
materia crea i campi, ma non ci dicono niente su come i campi agiscano "sulla" la materia, per cui la forza di Lorentz
va assunta a parte.

Però poi penso al condensatore, e mi rendo conto che, con le sole equazioni di Maxwell potrei descrivere
come le piastre accelerano l'una verso l'alta, senza fare nessuna assunzione supplementare.

L'unica, in effetti, è che questa frase sia sbagliata, o che me la sono sognata: la forza di Lorentz *è* inclusa
nelle equazioni di Maxwell (complete), anche se tutti i libri la scrivono a parte.

Basta vedere che l'energia totale di un sistema di cariche si scrive U=1/2*Sum { q_i*phi(x_i)} (vedi Landau II p 124,
ed 1976, dove viene ricavata con un integrale di volume), e che l'espressione f=-q*dphi/dx=q*E ne sortisce direttamente.

Quanto f=q(E+vxB), come s'è già detto, la parte vxB la si ottiene con una trasformazione relativistica sul
tensore Tij.



ciao,
-m
Received on Sat Oct 08 2022 - 19:35:08 CEST