(wrong string) � Ristretta (o quasi)

From: dumbo <_cmass_at_tin.it>
Date: 2000/08/11

Menegatti Vittore <dossogallina_at_libero.it> scritto nell'articolo
<VFyg5.34237$wS2.240359_at_news.infostrada.it>...
>
> So bene che questo argomento � gi� stato postato molte volte,
> ma spero comunque che portiate pazienza e prendiate in
>considerazione anche la mia versione.
>
> Dunque abbiamo una stanza trasparente che si muove di moto uniforme
> rispetto a noi, a velocit� prossima a quella della luce.

Questo esperimento ideale si pu� fare per qualsiasi
velocit� v, anche molto minore della velocit� della
luce c. Inoltre, al posto della stanza preferisco mettere
un'astronave: cos� riesco a immaginare meglio
la situazione. La chiamer� razzo per brevit�.
Supponiamo che sia un sistema inerziale, quindi
avr� i motori spenti. Anche la stazione spaziale � un
sistema inerziale (supponiamo). Per sistema
inerziale intendo un sistema che non accelera
rispetto alla media della materia dell'universo
(non � la definizione standard, ma funziona lo stesso).
 
Abbiamo quindi un razzo che si muove con velocit� v
(uniforme) relativamente a una stazione spaziale, anche
lei sistema inerziale.
La velocit� non conta, supponiamo solo che sia minore
della velocit� della luce nel vuoto c .
Citando il tuo post sostituir� sempre "razzo" a
"stanza".

> In mezzo al razzo c'� una sorgente di luce, S, dalla
>quale partono due raggi di luce, RA e RB diretti alle
> opposte pareti A e B, equidistanti da S.

S�: e poich� la velocit� della luce � uguale
a c in entrambe le direzioni, e i due raggi
devono fare tragitti uguali (mezzo razzo
ciascuno, verso le pareti che sono l� immobili
ad aspettarli: immobili perch� nel sistema razzo
il razzo � fermo) � chiaro che i due raggi
colpiranno le pareti A e B esattamente nello stesso
istante.

> Nei punti in cui i raggi colpiscono le pareti, chiamiamoli
>OA e OB, poniamo due specchi che rimandano i raggi a
>un osservatore posto in S, che puo cos� segnare sul proprio
>orologio il momento preciso dei due eventi.

No: lascia perdere questa faccenda degli
specchi che serve solo a complicare le cose;
tu pensa solo a questo:
abbiamo accertato che ci sono
due eventi, il primo �:
la luce colpisce A
il secondo �:
la luce colpisce B
E abbiamo anche accertato che questi due
eventi sono simultanei (nel riferimento razzo):
ne siamo sicuri, perch� S � equidistante
da A e da B e perch� la velocit� della luce � la
stessa nelle due direzioni.

> Il tutto si svolge considerando che il tempo scorra
> allo stesso modo sia da noi che nel razzo

No: questa assunzione non farla,
o rischi di complicare tutto inutilmente.
Diciamo che noi non sappiamo ancora se il tempo
� assoluto o no, e vogliamo scoprire la verit�.

> Ora, che cosa vediamo noi, e cosa invece l'osservatore
> all'interno del razzo?

> Ipotesi 1
> Noi vediamo due raggi staccarsi da S e muoversi
>alla solita velocit� c verso le due opposte pareti.

Esatto: la velocit� della luce � assoluta, cio�
i due raggi hanno velocit� c sia rispetto al viaggiatore
sia rispetto a noi che siamo in stazione.

> Poich� il razzo si muove in direzione A(verso)-->B
> vediamo la parete A andare incontro a RA che quindi
>arriver� prima in OA, mentre la parete B fugge davanti
> a RB che quindi la raggiunger� piuttosto in ritardo
>rispetto a RA.

Esatto. L'entit� del ritardo � minima se v << c,
ma comunque ci sar� sempre un certo ritardo.

> Vediamo anche, che i fotoni di RB,(consentitemi di
>esprimermi cos� per semplicit�),
> sono vicinissimi l'uno all'altro(onda ad alta frequenza?),
> mentre quelli in RA sono molto pi� distanti(onda lunga?).
> Osserviamo cos� l'effetto di un'onda a bassa energia che si precipita
> apparentemente contro una delle pareti, mentre un'onda fortemente
energetica
> "arranca" faticosamente verso l'altra. (Effetto Doppler?)

Lascia perdere tutto questo discorso
sull'effetto Doppler, perch� � inutile e fuorviante.

> L'osservatore interno invece vede i due eventi compiersi
> simultaneamente.

Esatto, e abbiamo visto prima perch�.
A questo punto mi pare che la relativit� della
simultaneit� sia dimostrata: due eventi simultanei
per l' astronauta non lo sono per la stazione
(dopo per� preciso meglio).
A questo punto, scusa se ho fatto un lungo cut, mi pare
che il tuo discorso si possa fare in modo molto pi� semplice.
Il nostro obiettivo � dimostrare la relativit� del tempo, giusto?
E' questo che chiedevi, tutto sommato (correggimi se ho capito
male).
La relativit� della simultaneit� l'abbiamo provata; adesso
bisogna provare che il viaggio da un pianeta a un altro
dura meno per il viaggiatore che per chi st� in stazione.
Prima di farlo per� chiariamo una cosa:

(cut)

> Se al posto di un unico osservatore all'interno, ne mettiamo due,
>posti in OA e OB, ciascuno con il suo orologio, cosa rileverebbero?

I due osservatori si trovano nello stesso sistema inerziale,
e i loro orologi sono in perfetto accordo: cio�, una volta
sincronizzati, continuano a essere sincroni sempre.
Voglio dire: se io e te viaggiamo sullo stesso razzo,
i nostri orologi marceranno esattamente allo stesso ritmo,
sia che noi sediamo vicini sia che stiamo lontani, io in coda
e tu in testa al razzo. E' ovvio, no? La nostra velocit�
relativa � zero, quindi abbiamo lo stesso tempo.

> Infine una curiosit�:
> Se i due osservatori decidessero di ricongiungersi, poich� sono legati
> alla velocit� del pavimento, mentre per OB sarebbe assai facile muoversi
> verso A, per OA sarebbe impossibile muovere un solo passo verso B,
>giusto?

No. Sarebbe giusto se il razzo fosse un sistema non inerziale,
ma anche in questo caso, perch� "impossibile muovere ecc " ?
Sarebbe solo pi� difficile (lascio perdere la faccenda dell'orizzonte).
Se invece il razzo � un sistema inerziale, come abbiamo supposto,
il discorso � sbagliato. Ti muovi da A verso B altrettanto
facilmente che da B verso A. Perch� mai dovrebbe esserci una
asimmetria?
 
Ora riassumiamo:
la luce si stacca dalla sorgente S che � nel
mezzo del razzo e vola verso le pareti opposte
A e B:
A � quella anteriore (muso del razzo)
e B quella posteriore (coda del razzo).
(ho invertito le lettere rispetto a come le hai
messe tu perch� A richiama meglio "anteriore")

Per l'astronauta la luce viaggia alla stessa velocit�
in entrambe le direzioni, e l'astronauta trova che
A e B sono colpite simultaneamente dalla luce.
Chi � fermo in stazione vede il razzo muoversi
a velocit� v rispetto alla stazione; questa persona
vede anche lui i due raggi, e li vede, anche lui,
andare a velocit� c; uno dei raggi insegue
la parete A che sfugge, mentre la parete B corre
incontro all'altro raggio, il quale deve quindi percorrere
meno strada (per colpire B) di quanta ne debba percorrere
l'altro raggio per colpire A. I raggi per� vanno alla stessa
velocit� c; �' chiaro che, nel riferimento della stazione,
la parete B � colpita dalla luce prima della parete A.

Abbiamo cos� due eventi:

il primo �

 l' illuminazione della parete A

e il secondo �

 l' illuminazione della parete B.

I due eventi sono simultanei per chi
� all'interno del razzo (cio�, per chi �
fermo rispetto al razzo) e non simultanei per
chi � fermo rispetto alla stazione.
La simultaneit� � quindi relativa.

Nota che

              I

per arrivare a questa condizione
abbiamo usato il fatto (inconcepibile nella
fisica pre-einsteiniana) che due fisici
in moto relativo, se misurano la velocit�
di uno stesso raggio di luce, trovano lo
stesso valore.


             I I

Nota anche che il raggio di luce che colpisce
per primo la parete � quello che viaggia verso la
parete posteriore B; quindi, quando hai due
eventi simultanei in un sistema X e non simultanei
in un altro Y , in questo secondo sistema l'avvenimento
che avviene prima dell'altro � quello che si trova
pi� "indietro" (in senso spaziale) dell'altro rispetto
al senso del moto di X.

-----

La simultaneit� � quindi relativa: per�
c'� una cosa da notare:
affinch� due eventi simultanei in un sistema
non siano simultanei in un altro sistema
devono verificarsi due condizioni (che nell'espe-
rimento del razzo si verificano):

1) i due eventi devono essere spazialmente
separati (� infatti essenziale che le due
pareti siano separate); ma questo � ovvio.

2) i due eventi _ non_ devono accadere in due
luoghi tali che se li colleghi con un segmento
rettilineo questo segmento sia perpendicolare alla
direzione del moto. Nel caso del razzo: le pareti
A e B _ non _ giacciono sulla perpendicolare
alla direzione della velocit� relativa razzo-stazione,
e questo � importante per le ragioni che ti dir�
dopo.

Mi spiego meglio: immagina di mandare i
due raggi di luce non verso le pareti A e B,
cio� non in senso orizzontale, ma invece in
senso verticale, cio� uno verso il pavimento
C e l'altro verso il soffitto D. Questa volta
supponiamo che la sorgente di luce sia a
met� tra il pavimento e il soffitto.
Nel sistema razzo, C e D sono illuminati
simultaneamente; e questo � ovvio: deve
essere cos�, per ragioni di simmetria.
Nel sistema stazione...pure. Infatti la simmetria
si mantiene; i due raggi fanno (nel sistema stazione)
un percorso obliquo (il raggio obliquo verso l'alto
� il raggio che v� verso il soffitto D; il raggio
obliquo verso il basso � il raggio che v� verso
il pavimento C). E questa obliquit� viene dal fatto
che, rispetto alla stazione, il razzo si sposta.
Ma non si pu� dire che C scappi davanti alla luce e
D vada incontro alla luce (o viceversa) perch� non c'�
alcuna velocit� in senso verticale: il razzo si sposta
solo in orizzontale.
Quindi i due raggi incontrano C e D simultaneamente
anche a giudizio della stazione.
Ecco quindi un caso in cui due eventi simultanei
sul razzo sono simultanei anche nella stazione:
la ragione � che i due eventi accadono in luoghi
dello spazio congiungibili da un segmento di retta
 _ perpendicolare _ alla direzione della velocit�
relativa razzo--stazione.

OK ?

Adesso considera come fai a misurare la lunghezza di un
corpo in movimento. Mettiti in stazione e cerca di misurare la
lunghezza del razzo che ti passa davanti. Se il razzo fosse
fermo, potresti fare cos�: segnare con uno schizzo di vernice
sul pavimento della stazione spaziale la posizione della coda
del razzo, poi segnare con un altro schizzo la posizione della
testa; puoi fare l'operazione con calma e metterci anche molto
tempo, mangiando un panino tra uno schizzo e l'altro,
tanto il razzo � l� fermo e non scappa.
Dopo che hai fatto i due segni sul pavimento, prendi un metro
a nastro, lo stendi fra i due segni e leggi la misura:
quella, la distanza fra i due segni, � anche la distanza fra
la coda e la testa del razzo, cio� la lunghezza del razzo.

Se per� il razzo ti passa davanti, devi prenderlo al
volo: se prima segni la posizione della coda e poi (dopo un
certo tempo t, del tuo orologio) segni la posizione della testa,
nel frattempo il razzo si sar� spostato della distanza v t
(dove v � la velocit� del razzo rispetto a te) e il
risultato che troverai non sar� la lunghezza del razzo,
ma la lunghezza del razzo pi� la lunghezza del tragitto
v t; insomma, la misura sar� completamente falsata.
Se invece segni prima la posizione della testa e poi
quella della coda, i due segni saranno troppo vicini, e
anche in questo caso non saranno la registrazione fedele
della lunghezza del razzo, e avrai ancora un risultato
falso (questa volta pi� piccolo del valore vero).
Per trovare la lunghezza del razzo devi segnare le estremit�
del razzo _simultaneamente_.
Allora s� che i due segni sul pavimento registreranno
fedelmente le posizioni della testa e della coda; allora s� che
misurando poi (anche con calma, se vuoi) la distanza fra i
due segni, potrai dire che il risultato � esattamente la lunghezza
che aveva il razzo mentre ti passava davanti. OK ?
Ora, supponi di fare appunto cos�, e di leggere il risultato
sul metro a nastro che hai steso fra i due segni:
leggerai, poniamo, dieci metri. Dopodiche chiami l'astronauta
che st� sul razzo, lo chiami al telefono, e gli dici: senti,
ho appena misurato la lunghezza del tuo razzo, �
dieci metri esatti.
L'astronauta ha per� osservato il procedimento
di misura e ha visto che tu facevi i segni in modo non
simultaneo: e questo perch� i due eventi (schizzo di
vernice in corrispondenza della coda del razzo;
schizzo di vernice in corrispondenza del muso del razzo)
che erano simultanei per te, non lo sono certo stati per lui.
Lui il procedimento l'ha vissuto in questo modo:
il razzo per lui era evidentemente fermo; e il pavimento
della stazione era in moto. Il segno che � stato stampato sul
pavimento in corrispondenza della testa del razzo � stato
stampato _ prima_ del segno in corrispondenza della coda
( lo si capisce bene senza alcun bisogno di calcoli e formule,
basta ricordare quanto scritto al punto I I ) e quindi (dice l'astronauta)
la misura fatta in stazione ha dato un risultato _minore_ di
quello che darei io, se misurassi il razzo nel mio sistema
(in cui il razzo � fermo). Conclusione: la lunghezza del
razzo misurata dall'astronauta non � dieci metri,
ma pi� grande.

E con questo � dimostrato che la relativit� della
simultaneit� implica la contrazione delle lunghezze
nella direzione del moto. Ma noi sappiamo che la simultaneit�
di due eventi in _ verticale_ rispetto alla direzione
del moto non � relativa, ma assoluta! Quindi possiamo
star certi che il razzo _non_ si contrae in senso
perpendicolare al moto, ma _solo_ nel senso del moto.
Cio�, la lunghezza testa - coda del razzo si contrae,
ma l'altezza pavimento - soffitto no; ha lo
stesso valore sia per l'astronauta che per il tizio in
stazione.
Ora arriviamo al tempo:
visto che dal suo punto di vista l'astronauta � fermo e la
stazione si muove, � chiaro che per l'astronauta la stazione
� pi� corta di quanto non sia per l'altro.
Ma la velocit� relativa razzo-stazione � ancora v, anche
a giudizio dell'astronauta (se vai in treno vedi gli alberi
venirti incontro alla stessa identica velocit� v con la quale
gli alberi vedono venirsi incontro il treno, supponi che siano
alberi esotici muniti di occhi). Quindi l'astronauta, per il quale
la stazione � contratta, percorre la stazione in un tempo
pi� breve del tempo di percorrenza misurato dalla stazione.
Se L � la lunghezza della stazione misurata dall'osservatore
in stazione, e se k L � la lunghezza della stazione rispetto
all'astronauta ( k < 1 � il fattore di contrazione) � chiaro che
chi � fermo in stazione dice: il razzo percorre la stazione da
un capo all'altro nel tempo T = L / v , mentre l'astronauta
dice: per percorrere da un capo all'altro la stazione impiego
il tempo k L / v = T * < T ; in generale, quindi, il tempo
impiegato per viaggiare da un punto P a un punto Q (per
esempio, da una stella all'altra) � minore per il viaggiatore
che per chi lo aspetta senza muoversi (cio�: restando in quiete
rispetto a P e a Q ). Sfruttando il fatto che le lunghezze non si
contraggono nel senso perpendicolare al moto, si pu� anche
trovare il valore del coefficiente k in funzione della velocit�:
basta una applicazione elementare del teorema di Pitagora.

Metti un laser sul pavimento C del razzo;
Il razzo � in quiete rispetto alla stazione.
Sistema le cose in modo che, quando il laser
emette luce, il razzo parta; e quando la luce
tocca il soffitto D, il razzo si fermi.
(si possono sempre sistemare le cose
in questo modo: non scendo nei dettagli).
Supponiamo che lungo il tragitto il razzo sia
un sistema inerziale (il periodo in cui i motori
e i razzi frenanti sono accesi lo supponiamo
molto breve rispetto alla durata totale del viaggio).
Chiaramente, la durata T * del viaggio per
l'astronauta sar� uguale al tempo impiegato
dalla luce per fare il tragitto verticale pavimento-
soffitto, cio� sar�

T * = h / c

dove ho chiamato brevemente h la altezza della
cabina del razzo. Supponiamo che h sia enorme,
facciamo un'ora - luce, cos� il viaggio, a giudizio
dell'astronauta, durer� un'ora.
Anche per l'osservatore nella stazione spaziale
la durata del viaggio sar� uguale al tempo impiegato
dalla luce per andare dal pavimento al soffitto,
solo che per lui il tragitto della luce non � in verticale
ma lungo una linea obliqua (ovvio, dato che tra il
momento della partenza del fotone da C e il momento
dell'arrivo dello stesso fotone in D, l'astronave si �
spostata a giudizio della stazione) e siccome la
altezza h della cabina del razzo � uguale sia per la
stazione che per l'astronauta, e siccome lo spostamento
del razzo � v T dove T � la durata del viaggio
a giudizio della stazione, il teorema di Pitagora
ti d�:

h ^ 2 + (v T ) ^ 2 = (percorso obliquo della luce) ^ 2

ma:

percorso obliquo della luce = c T ,

dove, nota, ho usato ancora il valore c della
velocit� della luce, lo stesso valore che ho
usato per l'astronauta, perch� la velocit� dello
stesso raggio di luce � uguale per entrambi
gli osservatori.
Quindi:


T ^ 2 = h ^ 2 / ( c ^ 2 -- v ^ 2 )


che, ricordando la T * = h / c, cio� h = c T * ,
porta a:


T ^ 2 = ( c T * ) ^ 2 / ( c ^ 2 -- v ^ 2 )
 

che sistemando un p� i termini e risolvendo
rispetto a T d�:


T * = T [ 1 -- ( v / c ) ^ 2 ] ^ 1 / 2


da cui vedi subito che T * < T , cio�
il viaggio dell'astronave � durato meno
per l'astronauta che per la stazione.
Chiaramente,

k = [ 1 -- ( v / c ) ^ 2 ] ^ 1 / 2

e cos� abbiamo trovato anche il fattore
di contrazione delle lunghezze.

Quanto poi alla famosa questione di cui si discute
tanto spesso, quella del "paradosso dei gemelli "
e alla vecchia obiezione:
" ma per la simmetria legata al principio di relativit�,
non sarebbe altrettanto lecito dire che il
viaggio � durato di pi� per l'astronauta che per la
stazione? " la risposta � che non c'� alcuna simmetria,
dato che il razzo si � messo in moto, ha viaggiato e si �
fermato, smettendo di essere (nelle fasi di partenza e di
arrivo) un sistema inerziale, mentre la stazione spaziale
non ha mai smesso di essere un sistema inerziale:
dunque la simmetria � rotta e il problema non si pone.
E' rotto anche il naso dell'astronauta, perch� se non si
lega bene al sedile, in fase di frenata sbatte contro il
cruscotto e alla fine del viaggio ha un occhio pesto e il naso
ammaccato: questo certamente non succede all'altra
persona. Quindi dire che la situazione � simmetrica
significa negare la realt� dei lividi, cosa certamente
scorretta sia sul piano fisico che medico. Insomma:
chi nega la diversa et� dei gemelli alla fine del viaggio,
� come se negasse che le frenate brusche fanno cadere
in avanti: nega l'evidenza.

A questo punto dirai che mi sono un po allontanato
dalle tue domande iniziali: ma come vedi ho
sfruttato l'esperimento ideale cominciato da te, quello
della stanza coi due raggi di luce che viaggiano in
direzioni opposte, per arrivare a due conseguenze importanti
della RR ( relativit� dello spazio e del tempo) senza
praticamente fare calcoli.
Ho cambiato, strada facendo, l' impostazione che avevi
dato al problema, perch� mi sembrava inutilmente complicata.
Spero di aver ugualmente risposto alle tue domande.

Bye,
Corrado




 







  
Received on Fri Aug 11 2000 - 00:00:00 CEST