DERIVATA COVARIANTE DI UN VETTORE

From: valerio cammelli <vacamme_at_tin.it>
Date: 2000/08/02

Dopo aver studiato per circa sei mesi la RG (testi di riferimento
Landau e Lectures notes on RG del S.Carroll) posso dire di aver
compreso abbastaza il formalismo ,tuttavia alcuni concetti importanti
non li ho compresi : uno di essi � la derivata covariante di un
vettore :il Landau esordisce dicendo giustamente che il differenziale
di un vettore es.covariante in coordinate curvilinee non� piu' un
vettore cosa che si dimostra facilmente facendo il differenziale della
legge di trasformazione delle coordinate di un vettore covariante.
il succo del discorso seguente � che affinch� il differenziale di un
vettore sia un vettore in coordinate curvilinee bisogna trasportare
uno dei due vettori nel punto dove si trova l'altro e poi fare la
differenza . in coordinate galileiane tale trasporto � lo spostamento
parallelo a se stesso di un vettore:" per confrontare due vettori
infinitamente vicini dobbiamo spostare parallelamente uno di essi nel
punto di trasporto. detto
A_i il vettore nel punto x_i , sara' A_i+dA_i nel punto x_i+dx_i,
eseguendo sul vettore A_i il trasporto infinitesimo parallelo nel
punto X_i+ dx_i ed indichiamo con delta_i la sua variazione ,allora
la differenza frai due vettori che sono nello stesso punto �
DA_i = dA_i -delta_i poiche' la variazione delle componenti di
un vettore dipende dalla grandezza delle componenti ed � evidentemente
lineare si deve avere :

delta_i = gamma i_hl A_k dx_l "


Da cui poi la nota formula della derivata covariante di un vettore
covariante.

Questo modo di introdurre i simboli di Christofel mi lascia
profondamente insoddisfatto perch� :

   definisce precedentemente il trasporto parallelo di vettori solo in
coordinate galileiane (spostamento parallelo)
come si fa ad applicarlo anche in coordinate curvilinee ?
forse che per spostamenti infinitesimi � lecito fare uno spostamento
parallelo anche in coordinate curvilinee?
A proposito : il Carroll introduce direttamente la derivata
covariante senza dimostrazioni.

Grazie per eventuali chiarimenti Valerio
Received on Wed Aug 02 2000 - 00:00:00 CEST