Re: DERIVATA COVARIANTE DI UN VETTORE

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/08/02

Ciao, a me il Landau non piace per queste cose
piu' matematiche. In generale io preferisco dare direttamente
la definizione di derivata covariante ovvero di connessione affine
e poi fare vedere che la definizione data si riduce a quella di derivata
ordinaria se la metrica e' piatta, ma e' definibile in generale.
Veniamo alla questione specifica:


valerio cammelli wrote:

>
> A_i il vettore nel punto x_i , sara' A_i+dA_i nel punto x_i+dx_i,
> eseguendo sul vettore A_i il trasporto infinitesimo parallelo nel
> punto X_i+ dx_i ed indichiamo con delta_i la sua variazione ,allora
> la differenza frai due vettori che sono nello stesso punto �
> DA_i = dA_i -delta_i poiche' la variazione delle componenti di
> un vettore dipende dalla grandezza delle componenti ed � evidentemente
> lineare si deve avere :
>
> delta_i = gamma i_hl A_k dx_l "
>
> Da cui poi la nota formula della derivata covariante di un vettore
> covariante.
>
> Questo modo di introdurre i simboli di Christofel mi lascia
> profondamente insoddisfatto perch� :
>
> definisce precedentemente il trasporto parallelo di vettori solo in
> coordinate galileiane (spostamento parallelo)
> come si fa ad applicarlo anche in coordinate curvilinee ?
>

Allora puoi vederla cosi'. Prima consideri una varieta' piatta,
ti metti incoordinate curvilinee. Ora tu sai cosa significa trasportare
parallelamente, perche' esistono le coordinate cartesiane ortogonali
ed il "parallelamente" lo puoi pensare nel senso delle traslazioni
lungo il vettore stesso (scegli un sistema di coordinate cartesiane
ortonormali con un asse che e' parallelo al vettore e lo trasporti lungo
tale asse). Poi vai a vedere come la stessa operazione viene *letta*
in coordinate curvilinee arbitrarie, cioe' cambi coordinate lasciando
immutato il vettore e quello trasportato parallelamente.
Allora scopri che, trascurando termini del secondo ordine, la
differenza
tra le componenti nelle coordinate curvilinee del vettore iniziale e
quello
trasportato parallelamente e'

DA_i = dA_i -delta_i

con

delta_i = gamma i_hl A_k dx_l

e vedi che puoi anche dare un'espressione esplicita dei coefficienti
gamma in funzione delle funzioni che definiscono il
cambiamento di coordinate. Se ora scegli due sistemi di coordinate
curvilinee diversi scopri che i nuovi coefficienti gamma si ottengono
dai vecchi con una precisa legge di trasformazione che coinvolge
*solo* i due sistemi di coordinate curvilinee e non le coordinate
caretesiane iniziali. Il punto importante e' che per il solo fatto
che vale tale legge di trasformazione accade che DA_i / dx^k definisce
un tensore. La dimostrazione si ha per computo diretto considerando
l'espressione di DA_k/dx� in due sistemi di coordinate curvillinee
diversi e deducendone la legge di trasformazione tenendo solo
conto della legge di trasformazione dei gamma e degli operatori
di derivazione ordinaria.


A questo punto ti puoi completamente liberare
delle coordinate cartesiane e della richiesta di varieta' piatta
e
                                    *definire*

il *trasporto parallelo infinitesimo* tramite:

DA_i = dA_i -delta_i

dove supponi di avere in qualche modo assegnato i coefficienti
gamma che *per ipotesi* si devono trasformare con la solita
legge di trasformazione dei coefficienti di connessione.
Il teorema di sopra funziona ancora perche' non faceva uso
delle coordinate cartesiane e hai ancora che i coefficienti
DA_k/dx^i definiscono un tensore.
Poi puoi fare partire tutta la macchinetta che estende la derivata
covariante a tensori di altro genenere come indicato da Landau...

In questo modo hai creato una procedura naturale valida per ogni
tipo di varieta' anche non piatta che si riduce a quella usuale se
la varieta' e' piatta (ammettendo che la connessione sia quella di
Levi-Civita, ma non entro in dettagli ora).

> forse che per spostamenti infinitesimi � lecito fare uno spostamento
> parallelo anche in coordinate curvilinee?

Si pero' il fatto che lo spostamento sia parallelo e' *assoluto*, non
dipende dalle coordinate e significa che vale

DA_i = dA_i -delta_i.

SE le coordinate sono cartesiane ortonormali (ammesso che la
varieta' ne ammetta) allora l'espressione di sopra ti fornisce
automaticamente

DA_i = dA_i

come deve essere.

Ciao, Valter

>
Received on Wed Aug 02 2000 - 00:00:00 CEST