Re: Geodetiche e parametrizzazione

From: Pangloss <newsmem.proietti_at_tin.it>
Date: 2000/07/22

Non sono un guru della matematica n� della fisica, ma spero che la mia
risposta possa almeno parzialmente interessarti, con l'avvertenza che
espongo opinioni molto personali e quindi contestabili.
Il problema specifico che poni � quello delle geodetiche, ma sembra
allargarsi al calcolo variazionale in generale.
Le notazioni che adotti sono quelle usuali in meccanica analitica:
richiamano il principio di Hamilton e le equazioni di Lagrange, con
variabile t tempo ed estremi di integrazione t1 e t2 "fissi" per ipotesi,
nel qual caso la tua critica sulla variabilit� degli estremi non regge. Ma,
per rimanere nella meccanica analitica, quando si considera la variazione
dell'integrale di azione gli estremi non sono fissi e le conseguenze
matematiche cambiano. Posso solo fare riferimento al solito Goldstein
Classical mechanics.
Le geodetiche sono definite negli spazi di Riemann (non necessariamente a
metrica definita) come curve estremali. Nella famiglia F di tutte le curve
regolari passanti per due punti A e B "fissi" sono dette geodetiche le curve
per le quali la variazione dell'integrale che esprime la lunghezza dell'arco
di curva AB � nulla. Non si pretende che tale lunghezza sia minima, n� che
la curva sia unica (sebbene queste siano le circostanze pi� comuni).
Le procedure di calcolo variazionale che tu riassumi dimostrano in modo
ineccepibile che se una curva � estremale allora essa soddisfa
necessariamente le equazioni di Euler, cio� nel caso specifico la nota
equazione delle geodetiche scritta con i simboli di Christoffel.
A rigore non provano che la condizione sia sufficiente, cio� che se una
curva soddisfa l'equazione delle geodetiche allora essa � estremale (che non
sia provato il carattere minimale � ovvio). Questo �, a mio parere, il
significato implicito nella tua richiesta di dimostrare l'indipendenza dalla
parametrizzazione: bisognerebbe ulteriormente mostrare che se una curva �
estremale rispetto ad una generica famiglia parametrica di curve F(k),
allora essa � estremale anche rispetto alla famiglia non parametrizzabile F
di tutte le curve regolari passanti per A e B. Sar� anche una conseguenza
intuitiva, ma la lacuna logica sussiste ed io al momento non sono in grado
di colmarla. Mi risulta tuttavia che la cosa possa essere fatta, cio� che si
possa dimostrare rigorosamente anche il carattere sufficiente delle
equazioni di Euler per una curva estremale (a variazione nulla).
Personalmente preferisco la definizione delle geodetiche basata sulla
derivata intrinseca. Una curva nello spazio di Riemann � geodetica se la
derivata intrinseca del suo vettore tangente � identicamente nulla.
L'equazione delle geodetiche ne discende con immediatezza e senza problemi
(tipo quelli che tu accenni per metriche indefinite). La propriet� estremale
delle geodetiche diviene un teorema indipendente.
Purtroppo la derivazione intrinseca poggia sul macchinoso concetto di
spostamento parallelo di Levi-Civita, che per� pu� diventare elegante se
introdotto assiomaticamente come fatto da Weil. Per uso privato io taglio
corto e definisco in modo assiomatico diretto la derivata intrinseca, con il
che l'equazione differenziale delle geodetiche salta fuori con rigore logico
e quasi senza calcoli, ma qui sto scivolando verso forme di misticismo
fisico che davvero non possono interessarti!

Elio Proietti
[indirizzo e-mail senza news]
Received on Sat Jul 22 2000 - 00:00:00 CEST