Re: Periodo di un pendolo semplice

From: Pangloss <newsmem.proietti_at_tin.it>
Date: 2000/06/28

Lucky Dog ha scritto:
>Salve, vorrei sapere come posso trovare il perido di oscillazione di un
>pendolo semplice quando l'angolo di oscillazione non e' piccolo; in
>particolare mi interessa come calcolare il coefficiente ''di correzione''
>rispetto alla formula classica per le piccole oscillazioni ( T = 2 Pi
>Sqrt(L/g) ) per un pendolo che si innalza di 90�.
>Il mio libro di fisica I a riguardo da' solo i primi 3 termini di una serie
>(1+Sin[theta] / 2 * 2 + ...), io ho provato a ricavare la forma generale
>della serie ma non sono sicuro che sia giusta... :-/
>A me risulterebbe coeff. = k = Somma_n=0_infinito[ ( (2n-1)!! / 2n !! )^2 *
>Sin[theta]^2n ], e' giusta?
>Usando questa risulta ad ex. per 40� k=1.137 , per 60� k=1.373, per 85�
>k=2.439
>Per 90� non sono riuscito a calcolare il valore... :-((

In meccanica razionale si dimostra che il periodo di oscillazione di un
pendolo semplice oscillante con ampiezza theta risulta:
T = 4*sqrt(L/g) * K(sin(theta/2))
ove K � l'integrale ellittico completo di prima specie, sicch�:
coeff.k = (2/pi) * K(sin(theta/2))
Il tuo sviluppo in serie � corretto (congratulazioni!), ma l'argomento del
sin va dimezzato. Anche i tuoi valori numerici sono corretti, se riferiti ad
oscillazioni di ampiezza doppia: ad es. k=1.1375 vale per oscillazioni entro
[ -80�,+80�].
Per theta -> 180� il periodo diverge, com'� fisicamente ovvio essendo la
posizione 180� di equilibrio instabile. Giusto per strafare aggiungo che i
trattati sulle funzioni ellittiche dimostrano che per x -> 1
K(x) = ln(4/sqrt(1-x^2)) + O[(1-x^2)*ln(sqrt(1-x^2))]

Elio Proietti
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Received on Wed Jun 28 2000 - 00:00:00 CEST