Il 11 Jun 2000 21:55:13 +0200, "Adriano Amaricci" <amaricci_at_tiscalinet.it> ha
scritto:
>Salve, volevo sapere se qualcuno pu� spiegarmi in maniera semplice ed
>efficace come si risolve l'equazione di H-J, sopratutto nel caso in cui
>l'hamiltoniana sia indipendente dal tempo (energia integrale primo del moto)
>ovvero nel caso si separazione di variabili, e come si giunge dopo
>all'introduzione delle variabili azione-angolo (quest'ultimo passagio mi �
>proprio concettualmente ostico). Vi ringrazio di cuore.
H-J e' un metodo praticamente inutile. Infatti un sistema Hamiltoniano e'
risolvibile tramite H-J solo per separazione di variabili. E questo sistema
permette semplicemente di "accorgerti" che esistono degli integrali primi del
moto di cui non ti eri precedentetmente accorto. Infatti con la Lagrangiana (e
quindi non l'Hamiltoniana) ti puoi accorgere solo se l'Energia o qualche momento
coniugato (se la variabile a cui e' coniugato e' ciclica) si conserva.
I metodi sono in pratica 2, tramite la funzione principale (W)o quella
caratteristica (S) di Hamilton .
In pratica, se H(q,p) non dipende da t :
Equazione di H-J :
H(q, dW/dt) = E (energia, che si conserva, che diventa il tuo nuovo momento
cinetico)
Risolvo per separazione di variabili (sai che intendo?) scoprendo che affinche'
sia constante H (q, dW/dt) anche una certa f(q, dW/dt) deve essere costante,
uguale cioe' a Beta, il tuo secondo impulso (in generale tanti impulsi quanti
sono i gradi di liberta' -1). Hai appena scoperto un integrale primo del moto.
La tua W(q,P), in cui P sono i tuoi nuovi impulsi (uno e' E, gli altri hai
scoperto che si conservano), e' una funzione generatrice.
p = dW/dq
Q = dW/dP con Q = variabili coniugate a E e gli altri impulsi che hai trovato
P = impulsi che hai trovato
Ora puoi ipoteticamente quadrare il moto (le difficolta' dell'integrazione non
e' indifferente).
H' (la nuova hamiltoniana) = E
.
Q1 = dH/dP1 = 1 (P1, il primo impulso, e' proprio E)
.
Q2 = 0 etc. etc.
.
Pn = 0
Da cui viene che Q(t) = Qo + t (e tutto il resto e' costante, per es P2 = P2o)
Un altro modo per quadrare e' portare il moto ad uno unidimensionale utilizzando
gli integrali primi del moto che ti sei trovato e fare l'analisi
unidimensionale.
**********************************************************************
Variabili A-A.
Per DEFINIZIONE ho nuovi impulsi (momenti cinetici coniugati), definibili solo
dove il moto e' periodico (ossia dove la curva nello spazio delle fasi e'
chiusa, oppure...)
I = (1/2pi.greco) * Area della curva nello spazio delle fasi
.
Da qui si scopre che PhiI = dPhiI/dt (la velocita' coniugata a I) e' proprio
dH(I, etc.) /dI = w = 2pi.greco*ni (ossia la frequenza di oscillazione).
In questo modo ti sei trovato la frequenza di oscillazione. Trovati TUTTE le n
frequenze di oscillazione di un moto a n gradi di liberta', in tutti e questi
gradi periodico, e vedi se stanno tra loro in un rapporto RAZIONALE. Se e' cosi'
il moto intero e' periodico del minimo comune multiplo. Altrimenti il moto non
e' propriamente periodico, e l'orbita (che e' un TORO n-dimensionale) riempie
nel tempo tutto lo spazio delle fasi.
Spero di essere stato chiaro.
--
>Darth Vader
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Received on Wed Jun 21 2000 - 00:00:00 CEST