Re: Paracadutisti

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/05/17

Golem wrote:

> Qualcuno sarebbe cosi' gentile da spiegarmi come affrontare la
> dinamica di un corpo immerso in un gas (fluido) in caduta libera ?
> Il problema e' risolvibile esattamente per una sfera ?
> Grazie anche solo a chi mi legge.
>
> Golem.
> --
>
> Vox dei in dubio audire oportet !

Ciao, in generale per un corpo di forma qualsiasi il problema
non e' risolubile esattamente. Per una sfera immersa in un fluido di
Navier-Stokes, si riesce a calcolare la forza totale agente sul
fluido in funzione della velocita' asintotica del fluido (si pensa
la sfera ferma e il fluido in movimento). Il calcolo e' esatto
nel caso di limite di numero di Reynolds piccolo (moti non turbolenti)
e passa per l'"equazione di Stokes".
Allora si vede che tale forza e' diretta lungo la velocita' asintotica
del fluito e vale in modulo:

f = 6 pi R eta V

dove eta e' il coefficiente di viscosita', R il raggio della sfera
e V e il modulo della velocita' (asintotica, cioe' lontano dalla sfera)
del fluido.

A questo punto assumendo che tale formula valga anche
quando il corpo e' in movimento nel fluido a velocita' non costante,
si riesce a scrivere l'equazione differenziale del corpo in caduta
libera nel fluido (metto l'asse x verso il basso)

Md^2x/dt^2 = Mg - c dx/dt

dove l'ultimo termine e quello dovuto alla presenza del fluido,
c = 6 pi R eta, g e' l'accelerazione di gravita' e M la massa della
sfera.

L'equazione differenziale di sopra si risolve subito ponendo

y = x - Mgt /c

e l'equazione diventa

M y'' + cy' = 0

con soluzione

x(t) = Mg t /c + (A + Bt )exp{-ct/M}

dove A e B sono costanti da determinare.
Se al tempo t=o si ha x=0 e velocita' nulla, allora

x(t) = (1- exp (-ct/M)) Mgt/c

Come e' chiaro dalla soluzione di sopra, la soluzione per
grandi t e' approssimabile con il moto rettilineo uniforme

x(t) = Mg t/c

 V = Mg/c

e' dunque la velocita' limite insuperabile in caduta libera.

Per corpi di forma diversa dalla sfera non esistono soluzioni
esatte, ma la fisica e' qualitativamente molto simile.

Ciao, Valter
Received on Wed May 17 2000 - 00:00:00 CEST