Re: Gradiente & Co.

From: underscore <Valar>
Date: 2000/04/22

Giuseppe Lupo wrote:
>
> Vorrei avere una spiegazione qualitativa e quindi concettuale dei concetti
> di Gradiente e divergenza.
>
il gradiente di una funzione f e' definito come quel vettore che ha per
componente i-ma la derivata prima di f rispetto alla i-ma variabile,
questo vettore rappresenta, se consideri la funzione con dominio in un
sottoinsieme di uno spazio euclideo, un vettore perpendicolare alla
superfici formate dai punti per cui f assume lo stesso valore, quindi in
definitiva la direzione del gradiente ti individua la direzione in cui
e' massima la variazione infinitesima della funzione f, in particolare
il verso ti dice il verso in cui f aumenta piu' velocemente, il modulo
e' tanto maggiore quanto maggiore e' la variazione di f. In fisica
la definizione piu' "famosa" in cui si utilizza il gradiente e' quella
che eguaglia una forza conservativa a meno il gradiente della sua
energia potenziale, il meno in questo caso ti dice che la forza e'
diretta verso i punti a energia potenziale piu' bassa, e quindi
rispecchia il principio secondo cui l'evoluzione meccanica della natura
tende verso i minimi dell'energia potenziale.
Il gradiente puo' anche essere visto come un operatore differenziale,
cioe un oggetto matematico che ha una forma vettoriale ma le sue tre
componenti sono le operazioni di derivata rispetto alle tre variabili
cartesiane, in questo caso e' spesso chiamato "operatore nabla" e di per
se non ha significato fisico, ma e' comodo per scrivere in modo compatto
alcune equazioni.
La divergenza infatti puo' essere scritta formalmente come il prodotto
scalare tra l'operatore nabla e il campo vettoriale di cui si calcola la
divergenza (infatti la divergenza di un vettore e' la somma delle tre
componenti del vettore ognuna derivata rispetto alla rispettiva (scusa
la cacofonia) variabile cartesiana, cioe' la derivata rispetto a x della
componente x + la derivata rispetto a y della componente y + la derivata
rispetto a z della componente z)
Non so se esiste un'interpretazione fisica della divergenza che non sia
quella di "tasso di variazione del flusso del campo vettoriale
attraverso un punto", che e' abbastanza inutile perche' non e' altro che
una banale messa in parole di come viene introdotta la divergenza di un
vettore a partire dal teorema di Gauss, pero' non mi sorprenderei se non
ci fosse, perche' io finora non ho mai trovato una teoria o altro in cui
fosse introdotta la divergenza di qualcosa se non a partire da argomenti
direttamente o indirettamente legati al teorema di Gauss (del resto
anche il "cugino" della divergenza, il rotore :), non mi pare che abbia
un interpretazione fisica che trascenda dal concetto di ciruitazione e
conservativita' di un campo vettoriale).
-- 
Saluti
Valar
collegato telepaticamente con Allanon, Roland, Capo Rosso e F2
ex-Maestro Jedi di Abulion Yorgen
ICQ 51287994
"Diciamo la verita': a tutti piacciono le minorenni, per questo c'e' una
legge!" Daniele Luttazzi
per rispondere sostituite (underscore) con _
Received on Sat Apr 22 2000 - 00:00:00 CEST

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