Re: Achille e Tartaruga 2 - la vendetta -

From: El Filibustero <spalland_at_gmail.com>
Date: Thu, 22 Dec 2022 14:12:25 +0100

On Wed, 21 Dec 2022 22:37:15 +0100, JTS wrote:

>> Cio' che conta e' che in una serie di elastici hookeani
>> (o al limite in un elastico con distribuzione continua di k) in cui un
>> estremo e' trainato di moto uniforme con velocita' V, tutti i punti si
>> muovono uniformemente,
>
>Ho messo a fuoco oggi che questo è importante. Per adesso ho un concetto
>intuitivo di questo risultato. Alle equazioni penserò prossimamente: se
>è già presente nelle equazioni dei messaggi precedenti, vuol dire che ci
>sono annegato dentro ;-)
>
> > con tutta la gamma di velocita' comprese tra 0
> > e V.
>
>E quindi la tartaruga salta da un punto all'altro.

Passa, non salta. Proviamo a riassumere tutte le precedenti
considerazioni con un ragionamento rigoroso.

Sia N il minimo naturale per cui V/N=eps<v. Per j=0..N-1 siano Pj i
punti dell'elastico a riposo situati a xj:=w^-1(j*eps) dalla partenza,
siano rj le seguenti rette del piano t-x che ne rappresentano le
rispettive leggi orarie:

x = j*eps*t + xj

e rN quella di Achille: x = Vt + L.

Quando la tartuca ha raggiunto e superato Pj, la sua velocita'
rispetto terra e' non inferiore a v+j*eps. Quindi una stima per
eccesso del tempo di raggiungimento di Achille si puo' avere
supponendo che nel transito da Pj a P{j+1} la sua velocita' sia
esattamente v+j*eps. Con questa ipotesi, il grafico orario della
tartuca (piu' lenta di quello che e' in verita') interseca:

r1 all'istante t1 tale che v*t1 = eps*t1 + x1, ossia t1 = x1/(v-eps),

r2 all'istante t2 tale che t1*eps+x1 +(t2-t1)(v+eps) = (2*eps)*t2+x2,
ossia t2 = (t1*v+x2-x1)/(v-eps),

...

rj all'istante tj tale che

t{j-1}*(j-1)*eps+x{j-1}+(tj-t{j-1})(v+(j-1)*eps) = (j*eps)*tj+xj,
ossia tj = (t{j-1}*v+xj-x{j-1})/(v-eps)

r{N-1} all'istante finito

somma{j=1..N-1} (xi-x{i-1})*v^(N-1-i)/(v-eps)^(N-i)

anche il tempo per passare da r{N-1} a rN e' finito. Ergo la tartuca
raggiungerebbe Achille in un tempo finito anche se fosse piu' lenta di
quello che e'. Ciao
Received on Thu Dec 22 2022 - 14:12:25 CET