Ho deciso di fare un esercizio di somma pazienza (e mi pesa, perché la
pazienza non è la preminente fra le mie virtù).
Farò finta di aver letto un post il cui autore è uno studente del
secondo anno di fisica, e nemmeno tanto sveglio (ricordate la famosa
battuta di Berlusconi sugli elettori italiani?).
Facciamola corta: il tema è come si debbano interpretare alcune
formule in un articolo di Chashchina e Silagadze, apparso nel 2008 su
Phys.Rev D.
Si tratta delle formule (8) e (9), che ora cercherò di spiegare passo
passo, scusandomi coi molti che non avrebbero alcun bisogno di tante
spiegazioni.
Partiamo dalla (6), dove viene data l'espressione della precessione
del perielio dovuta a una forza centrale di en. pot. V(r), trattata
come una perturbazione.
w = [p/(alfa*e^2)]*(r*phi' - alfa/L)*(dV/dr)*k.
Legenda: w e k sono vettori
w è la vel. angolare del perielio, k il versore normale al piano
dell'orbita.
p è il parametro dell'ellisse, r e phi le coordinate polari (origine
di phi nel perielio imperturbato)
L è il modulo del momento angolare.
p si può esprimere (formula (7))
p = L^2/(mu*alfa)
dove mu è la massa ridotta del sistema dei due corpi.
phi' sta per dphi/dt, con la legge oraria data dal moto orbitale
imperturbato.
Osservo che phi è intesa funzione del tempo, anche se non se ne può
dare, com'è noto, un'espressione analitica chiusa.
Vale però
L = mu*r^2*phi' (*)
e questo permetterà di eliminare phi'.
E' anche importante la relazione tra r e phi (geom. analitica delle
coniche)
r = p/(1 + e*cos(phi) (**)
che nell'articolo è scritta dopo, senza numero.
La velocità angolare w è per definizione pari a theta', essendo theta
la direzione del perielio (funzione del tempo causa la precessione).
Quindi l'angolo di cui ruota il perielio in un periodo è (formula (8))
Dtheta = int[w(t),t,0,T]
da leggersi "integrale della funzione w(t) sulla variabile t da 0 a T".
(T è il periodo del moto imperturbato).
Ovviamente questo è un normale integrale definito di una funzione di
variabile reale, sull'intervallo [0,T] della reatta reale.
Mi direte che bisogno c'è di dirlo?
Purtroppo per il nostro studente è necessario...
Ma la formula (8) contiene un'altra espressione, che si ottiene con un
cambiamento di variabile (integrazione per sostituzione) da t a phi.
La regola è nota: se phi è funzione data (crescente) di t, si ha
int[w(t),0,T,t] = int[u(phi)/(dphi/dt), phi, phi(0), phi(T)].
L'unico punto delicato è che vi figura dphi/dt che in sé sarebbe
funzione di t, mentre nella regola di sostituzione va data come
funzione di phi. Ma la cosa è semplice: per la (*)
dphi/dt = L/(m*r^2)
dove L e m sono costanti e r è data come funzione di phi nella (**).
Faccio notare che la sostituzione cambia la variabile indipendente, ma
l'integrale rimane ancora un integrale di funzione di var. reale, ora
sull'intervallo [phi(0),phi(T)].
Gli autori mi pare non lo dicano, ma l'origine dei tempi è scelta in
modo che sia phi(0)=0 e di conseguenza phi(T)=2pi.
Comunque non c'è nessun integrale di linea, e non occorre nessun modulo
(questo se l'è inventato lo studente e comunque è falso: in un
integrale di linea non ci vogliono moduli.
Sospetto che abbia fatto confusione con gli integrali di
superficie...)
Il resto per arrivare alla (9) sono solo passaggi algebrici che forse
anche lo studente sa fare da solo, quindi non ci perdo tempo.
Anche la verifica che se si prende V(r) = -k/r il risultato viene 0 è
immedaita ea questo punto dovrà accettarlo anche il nostro studente;
sebbene ciò contraddica una sua credenza, chissà come motivata, che
anche con un potenziale di quel tipo debba esserci precessione.
Se poi non si fosse ancora convinto, la mia pazienza è comunque
esaurita.
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Elio Fabri
Received on Thu Dec 22 2022 - 17:59:23 CET