Re: Differenziale del calore ed Entropia: aiuto!

From: Adriano Amaricci <amaricci_at_tiscalinet.it>
Date: 2000/03/25

Rick Deckard ha scritto nel messaggio ...
>
>Ho un dubbio che non riesco a risolvere, aiutatemi per favore!
>Mi sapete spiegare perche' il differenziale del calore (dQ) non e' un
>differenziale esatto? Per quali ragioni? qual'e' la differenza tra questo
>differenziale non esatto e invece uno esatto rappresentato dalla funzione
>di stato Entropia? Che cosa ha dQ "in meno" rispetto ad una funzione di
>stato?
>Grazie in anticipo a tutti quelli che risponderanno.
>
>--
> A rileggerci!
>
>... Se hai paura della velocita'... prova Windows.

Parto dall' assunto che tu non abbia fatto Analisi 2, altrimenti sapresti di
cosa si parla, che cosa � un differenziale esatto? pendi una funzione di n
variabili reali a valori in R [se n=2 hai z=f(x,y)], se la funzione in
questione � sufficentemente regolare (� C1di D dominio di f) puoi scrivere
il suo differenziale totale come la somma di i che va da 1 a n della
derivata rispetto x_i (parziali si intende) per il rispettivo differenziale
dx_i (vettorialmente il prodotto scalare tra gradiente di f ed il vettore
dei differenziali). Come con le funzioni di una variabile reale dalla
derivata (differenziale) puoi tornare indietro integrando per cercare la
primitiva (a meno di una costante), qui puoi provare a cercare un oggetto
che sia il differenziale della funzone f di n variabili. Mi spiego meglio:
se prendi il funzionale lineare definito nello spazio R_n* (duale di R_n
cio� lo spazio di tutte i funzionali lineari che puoi costruire in n
variabili)[dopo con qualche esempio ti sar� pi� chiaro] dotato della base
canonica e_1, e_2,...,e_n puoi mediante la posizione dx_1=e_1, dx_2=e_2,...;
dx_n=e_n costruire un funzionale lineare che sia la somma di n funzioni di n
variabili moltiplicate ognuna per l'elemento corrispondente della base
ovvero A(x,...x_n)dx_1+B(x,...x_n)dx_2 +...+N(x,...,x_n)dx_n cio� una
combinazione lineare a funzioni A,B,...,N; dato che in effetti anche il
differenziale totale di una funzione di n variabili � di questo tipo ti puoi
chiedere quando � vero che un oggetto come quello su visto (detto forma
differenziale lineare) � proprio un differenziale totale di una opportuna
funzione f cio� in formule:

 w=df

dove w � la forma differenziale lineare e df � il differenziale della
funzione f.
Quando ci si trova in questa situazione si dice che la forma differenziale �
ESATTA, in generale ci sono delle specifiche condizioni necessarie e
sufficenti sia sulla regolarit� della funzione f sia sulla geometria del
dominio sul quale � definita.
[es. poniamo n=2 e consideriamo la forma diff. lin. sinx dx + cosy dy
che � definita su tutto R_2 "senza buchi" si osserva che esiste una
funzione f(x,y)=siny-cosx il cui differenziale � proprio la forma diff. lin.
considerata allora tale forma � esatta]. Le forme diff. esatte godono di
certe propriet� definite da un noto teorema detto di caratterizzazione delle
forme esatte e cio�: 1)l'integrale su un cammino qualsivoglia di una forma
differenziale esatta w � uguale alla differenza che tale w prende nel punto
finale meno quello preso nel punto iniziale (int. esteso a gamma di w=
f(x_1,y_1)-f(x_0,y_0)) corrispondentemente a livello fisico ci� introduce il
potenziale del campo f se questo � conservativo; 2) l'integrale di w esteso
ad un cammino chiuso (circuitazione) � identicamente nullo ed anche questo
definisce la conservativit� di un campo.

Dalle definizioni e dalle considerazioni appena fatte dovrebbe risultarti
evidente come il calore infinitesimo dQ integrato su un cammino qualsiasi
sia tutt'altro che indipendente dal cammino stesso, anzi!!! questo basta per
affermare che il calore non � un differenziale esatto. Ora se indichiamo con
deltaQ il differenziale non esatto del calore puoi considerare la quantit�
deltaQ/T se la integri su un cammino chiuso (nel piano P,V per esempio) essa
� in generale minore di 0, se per� il cammino rappresenta una trasformazione
REV. allora tale integrale � proprio uguale a 0 questo basta per concludere
che la quantit� nell' integrale � un differenziale esatto, e quindi si pu�
esprimere tale integrale su un cammino qualsiasi (rev.) mediante una
opportuna funzione S(P) detta Entropia del sistema termodinamico (o meglio
con la sua differenza agli estremi) che sia primitiva della forma diff.
deltaQ/T. Questo � tutto, o quasi!
Received on Sat Mar 25 2000 - 00:00:00 CET