Il giorno lunedì 26 dicembre 2022 alle 15:50:03 UTC+1 Giorgio Pastore ha scritto:
> Se rileggi con attenzione vedrai che non ci sono problemi. V è il
> potenziale di perturbazione rispetto al caso 1/r. è chiaro che,
> essendoci in generale precessione, u non è più costante del moto.
> Ma nel caso 1/r puro, V(r)=0 e Dvec{u}/Dt=0 in modo ovvio.
Sì, ma nella
U(r)=-alpha/r + V(r)
con V(r)=-k/r e k<<alpha, perché non potrei applicare il metodo perturbativo col potenziale V(r) piccola perturbazione di -alpha/r?
E (questa mi pare la domanda centrale), perché il metodo perturbativo non dà una omega=0 sempre, cioè non semplicemente omega nullo quando mediato temporale su un periodo?
Ad ogni modo, approfitto per correggere due errori presenti nel mio precedente post.
Non avendo il Golstein a disposizione mi ero rivolto alla pagina wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace-Runge-Lenz_vector
credendo di arrivare a dimostrare che dovesse essere omega istantanea sempre nulla.
Nel frattempo ho trovato online un Goldstein che mi ha aiutato a rivedere i miei errori nonché a formulare forse in maniera un po' più chiara le domande che pongo sopra.
Gli errori sono
1) nella pagina wikipedia la formula
_at_{(mu/L^2)*Integrale(fra 0 e 2pi) [r(theta)]^2 V(r(theta)) dtheta}/_at_L
è sbagliata (non torna nemmeno dimensionalmente), al posto di (mu/L^2) ci va (mu/L*T) (Goldstein 2 ed pag 510 eq (11-45) e (11-45')),
mu=massa efficace
L=momento angolare
T=periodo dell'orbita imperturbata
2) quando anche fosse stato corretto il fattore (mu/L^2) (con qualche altra costante per aggiustare le dimensioni), la dipendenza da L non sarebbe comunque scomparsa, quindi sarebbe comunque
omega=_at_{...}/_at_L=/=0
in quanto l'integrando [r(theta)]^2 V(r(theta))=k*r(theta) (nel caso v(r)=k/r) sarebbe
k*[L^2/(mu*alpha)]*[1/(1+e*cos(theta))]
e la dipendenza da L sarebbe nella eccentricità
e=Sqrt[1-(2|E|L^2/(mu*alpha)^2)].
Passando al Goldstein, che è certamente più chiaro della pagina wikipedia, alla pag 509 (seconda edizione in inglese) affronta il problema della precessione per un potenziale (nelle notazioni del Goldstein)
-k/r-h/r^n, con h/r^(n-1)<<k per ogni r,
e, non capisco per quale motivo, dice che lo studio va limitato a n>=2. Dice poi (nelle prime righe di pag 510) che il valore istantaneo della velocità angolare di precessione (che Goldstein chiama omega_punto) è di scarso interesse perché nei casi reali si possono apprezzare solo variazioni secolari, ma a me pare che il valore istantaneo che si avrebbe per la velocità angolare di precessione (che, se non erro, è quello che si dovrebbe ottenere se invece di mediare fra 0 e T si mediasse fra t_0 e t_0+eps con eps->0) sarebbe interessante proprio nel caso n=1. Sarebbe interessante proprio per testare la validità del calcolo perturbativo che dovrebbe dare 0 per ogni t_0.
Invece quel calcolo non dà 0 (non per ogni t_0).
Perché?
> Giorgio
Bruno Cocciaro
Received on Mon Dec 26 2022 - 16:57:16 CET