Il giorno martedì 27 dicembre 2022 alle 23:30:03 UTC+1 Bruno Cocciaro ha scritto:
> Il giorno martedì 27 dicembre 2022 alle 00:25:03 UTC+1 am..._at_tiscali.it ha scritto:
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> > Mi inserisco per ricordare che il potenziale "perturbativo" di cui si sta parlando, V=-(alpha)m/M r^-1, è quello che descrive l'effetto della correzione non-inerziale al potenziale newtoniano puro, -(alpha) r^-1, sul moto "imperturbato" del pianeta di massa m (cioè quello che si calcolerebbe se il sole fosse effettivamente fisso).
> Ma io sto ponendo un problema diverso. *Non* ci sono due corpi. Ce ne è uno solo, di massa m, o mu, non ha importanza.
> Il corpo è immerso in un potenziale
> V_0(r)=-k/r
> viene fuori l'orbita ellittica il vettore LRL ecc.
> Ora diciamo che il potenziale diventa
> V_1(r)=-k/r-h/r^n con h/r^n<<k/r per ogni r
>
>
> e, mediante i canonici metodi perturbativi, andiamo a calcolare la velocità di precessione del perielio. La funzione omega(t) (quella che, nell'articolo di Chashchina Silagadze, compare fra la (6) e la (7)), mediata sul periodo T dell'orbita imperturbata dà la velocità di precessione richiesta.
> Nel caso n=1, dovrebbe non esserci alcuna precessione del perielio, infatti la omega(t) mediata su un periodo è nulla.
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> Io pensavo (ora mi stanno sorgendo forti dubbi) che nel caso n=1 si dovesse avere omega(t)=0 per ogni t, invece il metodo perturbativo dà una omega(t) positiva su due quadranti, negativa sugli altri due, che diventa 0 solo in media ma non istantaneamente.
>
>
> E la domanda che mi ponevo era sostanzialmente "cosa cavolo sarebbe la precessione che si avrebbe su un solo quadrante se il potenziale perturbativo non modifica il carattere 1/r del potenziale che quindi continua a dare luogo a un'orbita che non precede (non precede mai perché il vettore LRL è costante sempre non va un po' in qua, un po' in là, per rimanere fermo soltanto in media)"?
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> Immagino che la risposta esista da qualche parte e una mezza idea me la starei facendo.
> Provo a esporla anche se non so quanto potrei essere chiaro.
>
>
>
> Ipotizziamo che il corpo in moto immerso nella V_0(r) stia descrivendo il suo moto ellittico e, nel momento in cui si trova al perielio vec{r_0} alla velocità vec{v_0}, avendo quindi una quantità di moto vec{L}=m vec{r_0}*vec{v_0} e una energia E=(m/2) v_0^2-mk/r_0, si "accenda" la V_1(r) (cioè la costante h, precedentemente nulla, assuma il suo valore h). In questo momento cambia istantaneamente la E che diventa E_1=(m/2) v_0^2-m(k+h)/r_0. Cambia anche istantaneamente il vettore LRL che passa da
> vec{A_0}=m vec{v_0}*vec{L}-m k vec{r_0}
> a
> vec{A_1}=m vec{v_0}*vec{L}-m (k+h) vec{r_0}
>
>
> il corpo seguirà un nuovo moto ellittico (puramente ellittico, senza precessione del perielio), con un nuovo vettore LRL, vec{A_1}, che, se vec{r_0} è il perielio, avrà la stessa direzione di vec{A_0}.
>
>
> Ipotizziamo ora che, mentre segue la nuova orbita ellittica, quando il corpo si trova nel punto vec{r_1} perpendicolare a vec{r_0}, alla velocità vec{v_1}, si "spenga" la V_1(r) e si torni nuovamente alla V_0(r). Il corpo modificherà nuovamente il proprio moto che diventerà un nuovo moto ellittico (senza precessione) con un nuovo vettore LRL che sarà
> vec{A_2}=m vec{v_1}*vec{L}-m k vec{r_1}.
> vec{A_2} avrà direzione diversa da vec{A_0} (se vec{r_1} fosse l'afelio allora vec{A_2} avrebbe la stessa direzione di vec{A_0}).
>
>
> La mia impressione è che, se, invece che fra 0 e T, l'integrale che compare nella (8) del lavoro di Chashchina Silagazde, fosse fra t_0 e t_1 (t_0=istante in cui il corpo è al perielio vec{r_0}, t_1=istante in cui il corpo è in vec{r_1}) allora il risultato sia esattamente l'angolo fra vec{A_2} e vec{A_0}.
>
>
>
> Certo, andrebbe provato coi calcoli quanto dico sopra. Ma magari qualcuno saprà la risposta alla domanda che ponevo sopra ("cosa cavolo sarebbe la precessione che si avrebbe su un solo quadrante [...]"?) e potrà eventualmente confermare, o confutare, la correttezza di quanto dico sopra. Sempre che ce l'abbia fatta ad essere comprensibile.
>
> Bruno Cocciaro.
Provo a rispondere alla questione sollevata da Bruno Cocciaro. Mi scuso in anticipo se le formule contengono differenze rispetto a Tex/Latex standard non avendo avuto tempo di ricontrollare.
Nel caso del potenziale V_1(r)=-k/r-h/r^n con h/r^n<<k/r per ogni r, posso certamente applicare i canonici metodi perturbativi, poiché notoriamente il problema, in generale, non è risolubile in forma esatta. Tuttavia, nel caso particolare n=1 posso ovviamente scrivere V_1(r)=-k'/r dove k'=k+h, e ricondurmi immediatamente alla soluzione esatta (di quello che nei post precedenti ho chiamato "problema ridotto" e a mio umile parere costituisce la soluzione esatta nel sistema eliocentrico non rotante). Ciò ovviamente, a patto di ricordarsi che la nuova costante del moto (intendendo nuova rispetto al problema base con h=0) è il vettore di LRL (o, volendo, quello di Hamilton) non più in k ma in k': \vec{A_1}=\vec{v}\vdot\vec{L}-k'\vec{e_r}. Ed infatti, è facile verificare che \d\vec{A_1}/\dt=0 (e analogamente per \vec{u_1} volendo lavorare col vettore di Hamilton) e che, di conseguenza, \omega(t)=0 per ogni t.
Se viceversa - anche solo per esercizio - volessi considerare, anche nel caso n=1, il secondo temine con h/r^n<<k/r come una piccola correzione perturbativa al potenziale base "imperturbato" V_0(r)=-k/r, è ovvio che lo potrei fare (non so con quale vantaggio) ma sarei consapevole che, in primo luogo, mi accontenterei di una soluzione approssimata sapendo che ce n'è una esatta. In secondo luogo, e più importante, se interpreto bene quanto spiegato dal Prof. Fabri, il vettore di LRL che è una costante del moto nel problema base non sarebbe più una costante del moto in questo altro problema "perturbato". E difatti avrei \d\vec{A_0}/\dt=/=0 (se non sbaglio i conti \d\vec{A_0}/\dt=-(1/\mu)(\d(-h/r)/\dr)\vec{e_r}\vdot\vec{L}). Questo è del tutto in linea con le attese, perché le perturbazioni modificano le costanti del moto del problema di partenza (come già aveva notato Laplace), per cui l'apparente non conservazione del vettore di LRL, come già detto da altri, è un "effetto spurio", attribuibile, sempr
e IMHO, all'approssimazione del metodo perturbativo laddove avrei potuto fare il calcolo esatto (senza ovviamente ottenere tale effetto). Tanto è vero che mi accorgerei che esiste comunque un vettore di LRL, che è il \vec{A_1} della soluzione esatta, che continua a rimanere costante anche nel problema "perturbato", segno che non siamo realmente in presenza di un sistema perturbato, ma siamo noi che per vie traverse e in modo forzato stiamo tentando di ottenere un risultato (comunque approssimato) che è già disponibile in forma esatta per via diretta, senza nessuna approssimazione.
Considerazioni del tutto analoghe si possono fare se si lavora con il vettore di Hamilton, ma mi sembra superfluo esporle. A me sembra chiaro che gli autori del parer Ch-S abbiano inteso applicare il loro metodo a un potenziale "realmente" perturbato, diverso da uno con lo stesso andamento newtoniano/coulombiano del potenziale base. Non l'anno detto, forse dandolo per scontato.
Cari saluti,
Pier Franco
Received on Thu Dec 29 2022 - 00:21:24 CET
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