Re: R: scuse

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 2000/01/18

In article <85ralk$44p$1_at_pegasus.tiscalinet.it>,
 � "FRANCESCO SARNARI" <frasarn_at_tiscalinet.it> wrote:
 Con l'occasione avrei una ulteriore questione da discutere insieme:
ricordi
> il problema che ponevo sulla compattezza dell'operatore integrale di
> Volterra? Forse � veramente banale, ma non sono riuscito a far vedere
che se
> B � un sottoinsieme limitato di C(0,1], la chiusura di T(B) �
costituita da
> un insieme di funzioni equicontinue ed eqiulimitate. Poi c'� quel
problemino
> del raggio spettrale.....come si mostra che il risolvente di B
include il
> risolvente di A?
> Ti ringrazio ancora in anticipo per il prezioso aiuto.
> Ciao, Francesco
>
 �
 �
 �
 �
 Bene ho un po' di tempo, e rispondo alla prima questione, per la
seconda dovrai aspettare, ma contiunua a pensarci che fa sempre
 bene.
 �
 Dobbiamo provare che il tuo operatore T: C(0,1] -> C(0,1]� (norma sup)
e' compatto. Questo equivale a dire che per ogni
 sottoinsieme limitato B di C(0,1], T(B) ha chiusura compatta (nella
norma sup).
 �
 Ti ho gia' provato che in realta' l'immagine di T e' in C[0,1], allora
provero' che se B sottoinsieme di C(0,1] e' limitato,� allora T(B)
 e' uniformemente limitato ed equicontinuo. Dato che T(B) e' in C[0,1]
possiamo applicare ascoli-arzela'che vale su questo spazio
 di Banach che nelle due ipotesi dette (uniforme limitatezza ed
equicontinuita' di T(B)) assicura che la chiusura di T(B) e' compatta
 e questo conclude la dimostrazione dato che B era generico.
 �
 �
 Sia qunque B sottoinsieme limitato (nella norma sup) di C(0,1].
 L'operatore e' dato da, se f e' in B o anche fuori,
 �
 (Tf)(x) = integrale da 0 a 1� di� G(x,y) f(y) dy
 �
 dove G(x,y) e' nulla per y>x e continua nel triangolo chiuso e limitato
di
 R^2: y minore o uguale a x e x appartenente a [0,1].
 (Guarda in uno dei miei primi post dove trasformavo l'integrale da 0 a
x in un integrale da 0 a 1.)
 �
 Se guardi come costruivo G vedi che e' anche una funzione� limitata su
[0,1] x [0,1] perche' dove non vale zero e' continua� su un
 compatto (allora esistono massimo e minimo per weierstrass).
 �
 Sia dunque M = Sup|G(x,y)| su [0,1] x[0,1].
 �
 *LImitatezza uniforme.
 �
 Dato che B e' limitato, ci sara' un N>0 tale che se f e' in B sup |f| <
N
 indipenentemente da f, allora ( <= significa "minore o uguale" )
 �
 |Tf(x)| <= integ. da 0 a 1� di� M N dy� � � <= M N < +oo
 �
 quindi |T(B)| e' un insieme uniformemente limitato di funzioni in
C[0,1].
 �
 *Equicontinuita'.
 �
 Prendiamo T e B come sopra. Dobbiamo mostrare che se g e' in T(B) e
x,x' in [0,1], allora, indipendentemente da g,x,x', per ogni
 e>o esite un d>0 tale che� |g(x) - g(x')| < e se |x-x'|<d.
 �
 Procediamo.
 �
 Se g e' in B sara' del tipo g = integ. da 0 a 1 di� G(x,y) f(y) dy con
f in B, allora
 �
 |g(x) -g(x')| <= int_0^1 |G(x,y)-G(x',y)| |f(y)| dy
 <= N int_0^1 |G(x,y)-G(x',y)| dy� � � � � � � � � � � � (1)
 �
 Ora nota che |G(x,y) - G(x',y)| <2M per ogni x,x' e y e quindi, come
funzioni di y, la classe di funzioni di y *etichettate* dalle
 coppie (x,x') definite da
 �
 y |->|G(x,y)- G(x',y)|
 �
 sono tutte limitate in modulo dalla funzione costante che vale 2M su
[0,1] ed e' quindi e' integrabile su [0,1] in y.
 Abbiamo dunque una successione di funzioni parametrizzate nell'indice
continuo (x,x')
 �
 h_{x,x'}(y) = |G(x,y)-G(x',y)|
 �
 Queste funzioni� sono misurabili in y e maggiorate da una funzione
y-integrabile e ancora vale:
 �
 h_{x,x'}(y) -> h_{l,l'}(y)� � per (x,x') -> (l,l'),
 �
 �
 dove l,l' sono numeri arbitrari di [0,1]
 �
 Il limite detto vale *quasi ovunque* in y su [0,1].
 (Infatti fissati l e l' gli unici due punti dove il limite non vale
sono per y=l e y = l', basta fare il disegno per vederlo).
 �
 Puoi allora applicare il teorema della *convergenza dominanta di
Lebesgue*
 e puoi passare il segno di limite sotto l'integrale e cio'
 ti assicura tra le altre cose che la funzione di (x,x') in R:
 �
 (x,x') |-> integrale da 0 a1 di |G(x,y)-G(x',y)| dy
 �
 e' una funzione *continua* su [0,1] x [O,1]. In particolare varra'
anche,
 dato che il dominio di questa funzione e' *compatto*, che la
 funzione detta e' *uniformemente continua*.
 �
 E quindi in particolare:
 per ogni e'>0 c'e' un d>0, che NON dipende� da x e x', tale che, se
 |x-x'|<d allora
 �
 |integ. da 0 a 1 di |G(x,y)-G(x',y)| dy| < e'
 �
 Sostituendo in (1) e chiamando e=Ne', si ha che per ogni e>0 esiste un
d>0
 tale che se g e' in T(B) allora |g(x)-g(x')| < e indipendnentemente da
g,
 x e x' purche' |x-x'|<d. E questa e' l'equicontinuita'di T(B).
 �
 �
 Quindi per ascoli-arzela' T(B) ha chiusura compatta e T e' per
 definizione
 compatto.
 �
 Ciao, Valter
 �
Received on Tue Jan 18 2000 - 00:00:00 CET