Re: propagazione nel vuoto (continua)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/12/28

Elio Fabri ha scritto:

>Valter Moretti ha scritto:
>> Sinceramente non capisco quasi nulla di questa discussione.
>Valter, come succede spesso, mi hai tolto la parola di bocca ;-)

 Bentornato Elio! (non immagini quante volte me la hai tolta tu, in piu`
 arrivando molto piu` lontano di dove sarei arrivato io...)

>A dire il vero Feynman avrebbe detto diversamente.
>Non se hai mai letto i suoi lavori del '49 (quelli che gli hanno
>fruttato il Nobel). Io li ho letti quando facevo la tesi, e li ho
>riletti molto dopo (capendoli meglio, credo...).
>Pero' F. non era certo il tipo da preoccuparsi troppo del rigore
>matematico, e percio' nel seguito non insistero' su questo punto.

  Ho letto solo il primo dei lavori di F. su queste cose, ma come tu
  sai io sono un po` maniacale sulla Matematica e non ho molto senso
 fisico (infatti ormai sono diventato quasi un "vero" Matematico [vedi
 fondo])

 Ecco i miei personali commenti e le personali risposte a quello che
chiedi,purtroppo saro` molto tecnico e quasi nessuno mi capira`. Chiedo
perdono in anticipo, ma le questioni che solleva Elio sono davvero
tecniche. (Chi non capisce nulla di quanto dico salti pure in fondo per
gli auguri di buon 2000 dove vi dedico una poesia!)

(lungo taglio allo scritto di Elio)

>Purtroppo esiste un teorema di Haag che in sostanza asserisce (spero di
>non descriverlo male) che i (ragionevolissimi) assiomi di Wightman
>possono essere soddisfatti solo da campi liberi, e che quindi la
>descrizione nello spazio di Fock *non esiste* per una teoria con
>interazione.
>Nessuna meraviglia che i calcoli perturbativi diano grane: non e' dovuto
>al fatto che le costanti di accoppiamento siano piu' o meno grandi, ma
>al fatto che le grandezza che si vorrebbero calcolare semplicemente non
>esistono.
>Qui piu' o meno ero arrivato io (a parte il discorso delle rotture
>spontanee, ovvero non unicita' del vuoto, ovvero rappr. non equivalenti,
>che lascio da parte). Mi piacerebbe sapere che cosa e' successo dopo.
>Perche' d'altra parte e' un fatto che almeno l'elettrod. funziona, e non
>e' certo la rinormalizzazione che ci salva, perche' conunque la serie
>perturbativa non converge. (Una convergenza asintotica non serve
>assolutamente a nulla in questo contesto!)


 Non sono completamente d`accordo sulla causa delle divergenze in
 termini del teorema di Haag. Ora cerco di spiegarmi.
 Allora, anche io non ho sotto mano libri, per cui non posso
 controllare (sono a casa con l`influenza) pero` mi pare che il teorema
 di Haag dica cose un po` piu` deboli. L`enunciato non me lo ricordo con
 precisione (ricordo bene pero` che l`ipotesi forte non e` l`invarianza
 sotto Poincare` dello stato di vuoto, ma solo quella traslazionale!).
 Un corollario del teorema di Haag dice che la teoria libera e quella
 interagente non possono essere descritte "nello stesso spazio di
 Hilbert" (tecnicamente non sono "unitariamente equivalenti" ).
 Dal punto di vista puramente matematico, la questione puo` essere
 gestita con formalizzazioni matematiche superiori
 ampliando la definizione di stato quantistico e usando teorie che
 coinvolgono "piu` spazi di Hilbert contemporaneamente", si tratta,
 come ben noto agli addetti ai lavori, della formalizzazione mediante
 C*-algebre e teorema GNS.
 Tuttavia dal punto di vista dei calcoli (ai quali Feynman teneva tanto
;-) ) delle sezioni d`urto e roba simile, queste formalizzazioni aiutano
 ben poco.
 Tornando al corollario del teorema di Haag, la prima conseguenza che
 viene fuori e` che la "rappresentazione d`interazione", che e` quella
 che si usa per tirare fuori i diagrammi di Feynman, e` matematicamente
 mal definita quando uno vuole fare i calcoli: essa praticamente
 presupporrebbe la coesistenza del vuoto libero e di quello interagente
 nello stesso spazio di Hilbert, e questo e` impossibile.
 La scappatoia e` l`uso diretto ed unico della descrizione di Heisenberg
 e del solo stato di vuoto della teoria interagente.
 Questo e` stato reso possibile grazie al "formalismo LSZ" (ed alla
 condizione di "completezza asintotica") che descrive tutta la teoria
 (anche perturbativa) nello spazio di Fock della teoria con
 l`interazione, senza fare riferimento al vuoto della teoria libera.
 Tuttavia i diagrammi di Feynman vengono fuori esattamente come nella
 teoria ingenua e tutto cio` non ha risolto alcun problema di infiniti
 sia dei singoli termini delle serie perturbative,
 sia della divergenza delle serie rinormalizzate (che spesso sono solo
 asintotiche).
 Quindi anche il teorema di Haag non e` la "vera causa" delle
 divergenze secondo me o almeno non e` l`unica causa.

 Forse i veri problemi sono davvero quelli che dicono gli "stringaioli"
;-).
 La teoria dei campi e` mal definita ad alte energie (a volte anche a
 basse) cioe` a piccole distanze, e ci sono le divergenze solo perche`
 e` una teoria SBAGLIATA a quelle scale, e a quelle scale il mondo e`
 diverso: si "vedono" dimensioni in piu` delle nostre solite 4 e la
 fisica e` descritta dalla teoria delle stringhe/brane o superstringhe e
 affini (per metterci dentro anche la gravita`) di cui la teoria dei
 campi, inclusa la teoria della relativita` generale e` solo una buona
 approssimazione a basse energie.
 Io ho solo il "feeling" che, per ora, queste teorie introducano piu`
 problemi di quelli che pretendano di risolvere. Ma molto probabilmente
 mi sbaglio. Il problema e` che per ora (un "ora" molto lungo) non si
 possono fare esperimenti in questo campo perche` non ci sono macchine
 (acceleratori) che possano raggiungere le energie in questione (ci
 vorrebbebro acceleratori grandi come il sistema solare).
 Pero` mi hanno spiegato che entro pochi anni si potranno
 verificare o falsificare conseguenze indirette (in particolare
 l`esistenza di partiecelle supersimmetriche e la violazione della
 legge di Newton Gravitazionale su scale micrometriche...). A quel
 punto si gridera` vittoria (oppure, se i risultati saranno negativi,
 secondo il mio modesto punto di vista, si aggiungera` un nuovo epiciclo
 perche` secondo me al momento l`unico vero principio, che la ricerca di
 punta delle alte energie segue con devozione, e` il "principio di
 autorita`"...)

(taglio)

>Ora torniamo a quello che ci interessa. Se la serie perturbativa e'
>asintotica, cio' vuol dire che si otterranno risultati migliori
>riducendo la costante di accoppiamento (che gioca il ruolo di z). Ma
>purtroppo la costante e' quella che e': non possiamo inventarci una
>successione di QED, progressivamente con costanti di struttura fina
>sempre piu' piccole, per avere approssimazioni migliori!
>Se mi serve il momento magn. anomalo dell'elettrone con 10 cifre, la
>serie perturbativa di QED me lo da'; ma se mi servisse con 20 cifre?
>(non bisogna mettere limiti all'ingegno degli sperimentali ;-) )


 Ci sono alcuni commenti che vorrei fare.

1) Avendo una serie asintotica, ci sono teoremi che, fissato un preciso
   valore del parametro di sviluppo (es. il valore misurato della
   costante di struttura fine nella QED) permettono di dire, con quel
   valore del parametro, fino a quale ordine di somma la serie fornisce
   risultati che non si discostano troppo dal valore reale della
   grandezza che approssimano.
   Nella qed mi pare che l`ordine sia 100 (ma dovrei controllare), cioe`
   dobbiamo considerare diagrammi con 100 vertici per cominciare a
   scostarci dai risultati ottenibili sperimentalmente, e questo spiega
   l`incredibile accordo tra i risultati teorici e quelli sperimentali
   sul rapporto giromagnetico dell`elettrone malgrado la serie sia solo
   asintotica.

2) Sotto certe ipotesi, la serie asintotica puo` essere "risommata" e
   fornire ESATTAMENTE la funzione che si vuole approssimare (purche`
   ci si restringa in un certo dominio di funzioni): esistono almeno due
   teoremi (di Watson e di Sokal) che assicurano cio`. La serie della
   QED ricade in questa classe, per cui, malgrado diverga, forse (se le
   funzioni che si vogliono studiare ricadono nelle classi di sopra),
   porta comunque *tutte* le informazioni fisiche della teoria. Questi
   teoremi non valgono in situazioni importanti, cioe` in TUTTE le
   teorie di gauge NON abeliane (a causa della presenza dei
   cosiddetti "istantoni" dovuti al "vuoto CLASSICO degenere"). La QCD
   purtroppo ricade in pieno in questo caso!

3) Da qualche anno e` noto (sotto forma di congettura piu` o meno
   provata in certi sensi: la "congettura di Maldacena" [allievo di
   Witten credo]), che le (certe?) teorie di gauge non abeliane sono
   "corrispondenti" ad alte energie (nel senso che esiste una
   uguaglianza numerica tra calcoli di processi corrispondenti) dove la
    teoria perturbativa non dice nulla, a teorie
   conformi fatte sul bordo all`infinito dello spazio di Anti-de-Sitter
   (il suo rivestimento universale in realta`) in 5D studiate a "basse
   energie" dove si possono fare calcoli perturbativi. Ormai il 90%
   della ricerca in alte energie e` su questo campo.
   Questo risultato si e` ottenuto dalla teoria delle stringhe cercando
   di spiegare statisticamente l`entropia dei buchi neri, ma
   da quello che ho capito e` indipendente da entrambi i campi.

(lungo taglio)

>Qui avrei una domanda: mi pare di capire che quando parli di campi in
>uno spazio-tempo non piatto, la metrica e' data a priori, non e'
>modificata dalla presenza dei campi.
>Se e' cosi', si aggiungerebbe un ulteriore problema se si volesse essere
>coerenti, e ricordare che anche i campi modificano la metrica...
>Dico bene?

Si, quello di cui parli e` il problema della "back recation".


>Inoltre: dato tutto quanto precede, che cosa esattamente e' una QFT in
>uno spazio-tempo curvo?

E` una teoria per principio approssimata: si assume che esiste un campo
gravitazionale descritto dalla RG e si costruisce sopra una teoria dei
campi quantistica (altri campi + gravitone linearizzato) piu` o meno
come nello spaziotempo classico, partendo da uno stato di vuoto scelto
con qualche criterio per esempio invarianza sotto un certo gruppo di
isometrie. Dico subito che in generale non c`e` un unico stato possibile
e che le teorie fatte su stati di vuoto diversi non sono quasi mai
unitariamente equivalenti, per cui si deve lavorare con C* algebre e
l`analogo del teorema GNS (dimostrato da B.S. Kay R. M. Wald nel 91) per
fare le cose per bene. Il concetto di particella non si prende nemmeno
in considerazione o meglio se ne usano definizioni piu` deboli basate
su gruppi di simmetrie piu` piccoli. E si scoprono molte stranezze
come il teorema di Sewell-Bisognano-Wichmann dove si prova che il vuoto
di Minkowski e` uno stato termico (pieno di particelle) per un
osservatore uniformemente accelerato nello spazio di Minkowski.

Questo risultato e` in realta` molto generale e ci sono alcuni
teoremi che valgono per spaziotempo con orizzonte degli eventi di
Killing biforcato (Haag-Narnhofer-Stern,Hessling,Sewll,Kay-Wald),
 in cui si prova che esistono solo certi stati regolari in tali
ambienti e che per certi osservatori sono visti come stati termici
(per la varieta` di Kruskal lo stato regolare e` quello di
Hartle-Hawking che e` visto come uno stato termico [radiazione di
Hawking]
per osservatori infinitamente lontani dal buco nero che quantizzano
"come se fossero" nello spazio di Minkowski). Nel 96 io e poi
S.Steidl ed io nel 97 abbiamo esteso alcune di questi risultati a casi
di varieta` con orizzonte di Killing non biforcato (buchi
neri estremi per esempio) mostrando che al contrario di quanto diceva
Hawking, la loro temperatura ovvero quella degli stati naturali dei
campi intorno ad essi, e` esattamente nulla (gli articoli sono su
Class.Quant.Grav.)

Per i motivi detti sopra, nella teoria dei campi in spaziotempo curvo si
lavora praticamente solo con quantita` locali come il valore mediato
sul campo del tensore energia impulso in un evento per un determinato
stato quantistico di campo. Quest`ultimo e` la sorgente gravitazionale
per la back reaction di cui sopra. Gia` a livello di teoria libera (in
questo ambito si dice teoria "quasi-libera") ci sono dei problemi di
rinormalizzazione delle quantita` locali perche` il normal ordering non
ha piu` senso in generale (e` riferito pesantemente ad uno stato di
vuoto assoluto che non esiste). Esiste una teoria assiomatica (pero` un
po` troppo debole) della rinormalizzazione del tensore energia impulso
dovuta a R. M. Wald e alcune teorie pratiche (per fare i conti) che
rispettano i suoi assiomi.

Dato che e` o forse dovrei dire e` stato il mio campo di ricerca,
aggiungo qualcosa riguardo ad alcuni dei miei contributi. Io ho
lavorato in questo campo (rinormalizzazione del tensore energia impulso)
in pratica, estendendo, una procedura basata sulla teoria zeta di
Riemann (che gia` Hawking aveva usato per l`azione effettiva). Piu` di
recente ho provato l`equivalenza di tale approccio con quello del
point-splitting di Wald ed altri dandone una versione improved di
quest`ultimo. Ed ho provato alcune congetture matematiche riguardo a
tutti questi argomenti, in particolare mi sono occupato di definire ed
usare la "rotazione di Wick" nello spaziotempo curvo (quasi tutto
quanto ho detto e` pubblicato o in pubblicazione su Phys Rev D,
Commun Math Phys e J. Math Phys).

Una cosa interessante e` che in tutti i casi noti (per es. usando il mio
appproccio basato sulla funzione zeta lo abbiamo provato anche per il
buco nero BTZ in 3 dimensioni), quando si calcola la back-reaction
dovuta ad un campo quantistico, in uno spaziotempo con una singolarita`
nuda si crea un orizzonte degli eventi che la scherma! Questo fa pensare
che il "principio di censura cosmica" sia di origine quantistica, ma non
esiste una prova generale. Inoltre i tensori energia impulso quantistici
(cioe` valori medi quantistici locali dell`operatore tensore E-I)
violano quasi tutte le condizioni di positivita` del tensore energia
impulso della materia richiesti in RG. Per esempio nel caso della
radiazione termica emessa da un buco nero, questa e` possibile perche`
nello stato quantistico di materia attorno al buco nero, c`e` una
regione dell`ordine della lunghezza di Planck dove il tensore energia
impulso viola la dominant energy condition (viola anche le altre due) e
il flusso di energia impulso rispetto al vettore di Killing tempora
le di Schwarzschild attorno all`orizzonte degli eventi diventa un
quadrivettore di tipo spazio! Ecco perche` esce qualcosa dal buco nero,
perche` quello che esce viola la causalita`!

 Vabbe` mi fermo qui.

Vorrei dedicare a tutto il NG la presente "poesia" per buon augurio di
un nuovo millennio. Come vedrete si tratta di una parodia tratta dal
film Blade Runner. Dalle ultime parole del "replicante" Roy Batty,
liberamente adattate alla mia attuale carriera :-)

  "I`ve seen things you Physicists wouldn`t believe true:
  Electric devices on fire off low-energy laboratories.

  I wached the Super Symmetry glitters in the dark near the
  Physics-library gate...

  All those events will be lost in spacetime...
  like toner in laser printers.

  Time to become a Mathematician"




  Ciao a Tutti, Valter Moretti
Received on Tue Dec 28 1999 - 00:00:00 CET