Giorgio Pastore ha scritto:
> Posso darti solo un consiglio. Lascia stare Balibar che
> probabilmente ha dimenticato quello che dovrebbe aver imparato all'
> École Normale. Piuttosto, se vuoi cominciare a vedere come si usano
> in fisica equazioni differenziali (a derivate totali e parziali)
> comincia con la meccanica classica del punto e dei sistemi continui.
> Ti renderai conto che M. d'Alembert o Herr Euler usavano eq. a
> derivate parziali molto prima di Mr Maxwell. E in più, le equazioni
> dell'idrodinamica permettono di capire molto del formalismo e della
> traduzione fisica delle equazioni dell' elettromagnetismo.
Vedo che Giorgio ha scritto molto di quello che avrei scritto io,
incluso il giudizio su M.me Balibar.
Il libro non l'ho letto ma alcune frasi che si trovano nell'articolo
di Wikipedia su Balibar, sono già sufficienti.
Avrei però bisogno di un chiarimento. La frase che inizia "Prima di
Maxwell" è di Einstein o di Balibar?
In entrambi i casi è una sciocchezza, come ha già fatto notare
Giorgio.
Anni fa ebbi occasione di consultare le opere di Eulero (c'è la
raccolta completa nel "fondo Truesdell" presso la biblioteca della
Normale).
Più per caso che in modo deliberato, capitai su uno scritto di Eulero
sulla meccanica dei fluidi. La cosa che mi colpì di più fu che non
solo c'erano le equazioni che oggi chiamiamo "di Eulero", ma che erano
scritte quasi esattamente con le notazioni che usiamo ancor oggi.
(Quasi, perché Eulero non usa il simbolo di derivata parziale, che non
era ancora stato inventato; ma il concetto c'è.)
In ogni caso, il sistema continuo come modello di corpi fisici reali
era già nato un secolo prima di Maxwell. Non vedo poi perché un
modello continuo cessi di essere meccanicismo. Questo consiste nel
ridurre tutti i fenomeni naturali ad azioni meccaniche, di forze tra
costituenti elementari.
Vorrei però approfondire la questione matematica delle derivate
"totali" e "parziali".
Intanto a me non risulta che nessun matematico usi il termine
"derivata totale", che invece alcuni fisici usano (non io).
Comunque la ragione e il significato di questo termine si capiscono in
casi che non sono quelli dei sistemi di punti discreti, ma proprio
quelli del continuo.
Chiarisco. Nella meccanica del punto e dei sistemi di punti si ha
(quasi) sempre a che fare con funzioni di una sola variabile
indipendente (il tempo), ossia con funzioni R --> R.
I singoli punti (es. i pianeti) vengono distinti mediante un indice.
Invece nella meccanica dei continui i punti del corpo, che sono
un'infinità continua, vengono distinti mediante le loro cordinate
cartesiane.
Ne segue che tutte le grandezze dipendono, oltre che dal tempo, anche
da queste coordinate; sono quindi funzioni R^4 --> R.
Esempio: se fotografiamo la velocità dell'acqua di un fiume, il
risultato sarà un "campo vettoriale", ossia, per dirla nel modo più
elementare, tre funzioni di x,y,z. Inoltre il risultato della foto
dipende dal tempo, quindi avremo tre funzioni v_x(t,x,y,z) ecc.
Guarda caso, questo si chiama "punto di vista euleriano".
Se vogliamo applicare la seconda legge della dinamica dobbiamo
calcolare l'accelerazione di ciascun punto partendo dal campo di
velocità.
Un punto è contraddistinto dalle sue coordinate; ma siccome il punto
si muove, le sue cordinate variano nel tempo. Se vogliamo seguire il
punto, dovremo sostituire al posto di x,y,z le funzioni del tempo che
rappresentano la *legge oraria* di quel punto, e avremo
v_x(t,x(t),y(t),z(t)).
Per calcolare l'accelerazione dovremo derivare questa rispetto a t,
ottenendo
a_x(t,x,y,z) = _at_v_x/_at_t + (@v_x/_at_x)(dx/dt) + (@v_x/_at_y)(dx/dt) +
(_at_v_x/_at_z)(dx/dt).
Questa formula, che trovi in tutti i testi di fisica odierni, la trovi
quasi identica in Eulero.
Qui capisci il perché di "totale": il primo termine a secondo membro è
la derivata parziale, in cui si fa variare t, tenendo fisse x,y,z. Ma
per calcolare la giusta velocità devi tener conto del fatto che anche
x,y,z dipendono da t.
Questo ha senso.
Non ha invece alcun senso chiamare "totale" la semplice derivata di
una funzione di *una sola* variabile.
Avrai quindi da un lato le equazioni differenzali ordinarie (non
totali) e dall'altro quelle a derivate parziali.
In lingua inglese sono correttamente in uso gli acronimi ODE e PDE:
"ordinary differential equation e partial differential equation.
Nota il cambiamento di punto di vista: mentre prima x,y,z erano
coordinate di un punto, ossia numeri, ora sono diventate funzioni del
tempo, perché *si segue il moto di ciascun punto*.
Mentre il primo è detto "punto di vista euleriano", il secondo è detto
"lagrangiano".
Va detto che Eulero e Lagrange sono contemporanei, nel senso che le
loro vite si sono parzialmente sovrapposte; ma Lagrange era di circa
30 anni più giovane.
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Elio Fabri
Received on Sun Feb 05 2023 - 20:39:21 CET