Il 04/04/2023 02:51, Bruno Cocciaro ha scritto:
> Il 03/04/2023 15:54, Elio Fabri ha scritto:
>> Però si può fare un altro ragionamento.
>> Se in K0 si sono disposti n regoli (lunghi 1 metro e fermi) per
>> coprire la circonferenza, vuol dire che i punti A1, A2, ... An distano
>> 1 metro.
>> Ma se distano 1 metro visti da K0, dove sono in moto e quindi
>> contratti, la distanza propria, che si misura in K, sarà g metri e in
>> totale la circonf. misurata in K sarà lunga g*n metri. Per il raggio
>> abbiamo sempre m regoli.
>> D'altra parte in K vale la geometria euclidea, quindi deve essere
>> g*n/m = pi, ossia m/n = pi/g. Ma m/n è il rapporto misurato in K0, che
>> è quindi *minore* che in K, mentre con l'altro ragionakento (di E.)
>> risultava maggiore.
> Proverò a pensarci domani. Bellissima domanda (sempre se l'ho ben capita). Grazie.
Allora intanto (paradosso dei gemelli), mentre un orologio fisso in K0
fa un giro, misurerà un intervallo di tempo
(1) T0=T/g
dove T è l'intervallo di tempo misurato e
g=1/Sqrt[1-beta^2]
beta=w*R/c=2*pi*R/(c*T)
(a me,come sai, non piace questo modo di raccontare le cose, io direi
semplicemente che le misure, T e T0, risultano tali che T0<T, poi
possiamo esprimere in termini delle misure T, T0 e R, tutte le grandezze
che vogliamo che hanno relazione indiretta con le misure, come w, beta e
gamma, l'ultima delle quali è semplicemente T/T0. Ad ogni modo, lasciamo
stare).
Poi, come dicevo ieri, quando un orologio Or si vede passare sopra un
regolo lungo dD (lunghezza propria) alla velocità beta*c, allora Or,
durante l'attraversamento, misurerà un intervallo di tempo dt pari a
(2) dt=dD/(c*beta*g).
Ora chiamiamo
dL0 la lunghezza di un regolo fisso in K0 che passa sopra un orologio
fisso in K mentre l'orologio fisso in K misura l'intervallo di tempo dT
e
dL la lunghezza di un regolo fisso in K che passa sotto un orologio
fisso in K0 mentre l'orologio fisso in K0 misura l'intervallo di tempo dT0.
Per la (2), tenendo conto del fatto che gli orologi fissi in K0 "vedono"
passare sotto di loro regoli fissi in K alla stessa velocità beta*c (di
direzione opposta), si ha
(3) dL0=beta*g*c*dT
(4) dL=beta*g*c*dT0.
Integrando la (3) da 0 a T si ha
L0_tot=(2*pi*R/(c*T))*g*c*integrale(dT, da 0 a T)=2*pi*R*g.
Integrando la (4) da 0 a T0 si ha
L_tot=(2*pi*R/(c*T))*g*c*integrale(dT0, da 0 a T0)=2*pi*R*g*(To/T)=2*pi*R.
Cioè, semplicemente contando il numero di regoli unitari che gli passano
sopra (o sotto), da K si può evincere che la circonferenza fissa in K0 è
lunga 2*pi*R*g, mentre da K0 si evince che la circonferenza fissa in K è
lunga 2*pi*R.
Come corollario si ha quello che io sapevo essere in discordanza con
quanto detto da Einstein e Landau ma ritenevo di non esserlo con te (e
non sono più tanto sicuro se ritenevo bene o no), cioè che quando un
disco si mette in rotazione si contrae di un fattore g sia la
circonferenza che il diametro (naturalmente più ci si allontana dal
centro più è marcata la contrazione).
Ciao,
Bruno Cocciaro.
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Received on Tue Apr 04 2023 - 18:35:06 CEST