Il 03/04/2023 16:06, Elio Fabri ha scritto:
> Ho scoperto appena ieri che un esercizio presente in "Gravitation"
> (pag. 63 della prima edizione) col titolo "La centrifuga e il fotone"
> ammette una semplice generalizzazione.
> Ecco la versione che vi propongo di risolvere.
>
> Abbiamo una piattaforma rotante con velocità angolare w costante. In
> un punto A qualsiasi è presente una sorgente di fotoni, in un altro
> punto B qualsiasi un rivelatore. Si chiede il "redshift"
> (l. d'onda ricevuta)/(l. d'onda emessa).
>
> Il problema è interessante perché ha una risposta semplice e inattesa.
> Inoltre, contro le apparenze e contro ciò che si dice troppo spesso, è
> un problema di RR: non è affatto necessario porsi nel rif. rotante.
> Del resto anche se lo fosse resteremmo in RR perché lo spazio-tempo è comunque piatto.
> Lo si può risolvere senza tanti conti, a patto di saper trovare la
> strada :-)
Provo a rispondere usando lo schema e le notazioni
di MTW con riferimento alla formula (2.30).
Siano tutte le coordinate misurate nel
riferimento inerziale del laboratorio, sia ta
l'angolo tra la parte spaziale ua della quadrivelocità di
A e quella p del quadrimpulso del fotone, analogamente tb
sia l'angolo tra la parte spaziale della quadrivelocità ub di B
e quella di p, sia . il prodotto scalare 3 dim.,
siano ra e rb i raggi di A e di B, allora
p.ua = |p| |ua| cos(ta)
p.ub= |p| |ub| cos(tb)
ma essendo ua e ub perpendicolari ai rispettivi raggi vettori,
usando la relazione tra angoli complementari e il teorema dei
seni si ricava
p.ua / p.ub = |ua| rb / (|ub| ra) = gamma_a / gamma_b,
analogamente per i prodotti delle parti temporali
si ha p^0 ua^0 / (p^0 ub^0) = gamma_a / gamma_b, in
definitiva il "redshift" vale gamma_a / gamma_b
(come già scritto da altri, e mi conforto ;-).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Tue Apr 04 2023 - 17:11:30 CEST