Relativamente al discorso che ho fatto prima sul redshift/blueshift ho implicitamente ipotizzato che la coordinata radiale della sorgente sia minore di quella del ricevitore rispetto ad un origine posta nel punto di intersezione tra la piattaforma e l'asse di rotazione. Se le due coordinate radiali fossero uguali allora non si avrebbero effetti di shift né per l'osservatore fisso né per quello rotante. Se invece la coordinata radiale della sorgente fosse maggiore di quella del ricevitore rispetto alla citata origine, allora nel riferimento rotante si avrebbe un redshift con coefficiente di dilatazione temporale uguale ad 1/2, in quello fisso un blueshift con coefficiente di dilatazione temporale uguale a -1/3. Ho fatto i calcoli mentalmente adattandomi al mio citato lavoro Found Phys 52, 42 (2022). Inoltre mi sono limitato a calcolare i coefficienti di dilatazione temporale. Per calcolare i corrispondenti shift della luce bisogna moltiplicare i coefficienti di dilatazione temporale delle varie situazioni
citate per il quadrato della velocità angolare, per il quadrato del modulo della differenza tra le coordinate radiali di sorgente e ricevitore, dividere per il quadrato della velocità della luce ed infine aggiungere uno a questo risultato. Il calcolo è preciso al primo ordine v^2/c^2, dove v è il prodotto tra la velocità angolare ed il modulo della differenza tra le coordinate radiali di sorgente e ricevitore e c è la velocità della luce. A questo punto il problema è risolto. Credo che più avanti ci scriverò un lavoro e potrei chiedere al mio dipartimento di fisica di approntare un rotore di Mossbauer per verificare che tutto torni.
Cari saluti,
Prof. C. Corda
On Tuesday, 4 April 2023 at 11:50:04 UTC+2, Christian Corda wrote:
> La geometria della piattaforma rotante è così piatta che se uno si prende la briga di calcolare le componenti del tensore di Riemann a partire dalla metrica di Langevin troverà le due componenti indipendenti non triviali 2,3,2.3 e, rispettivamente, 3,2,3,2, che daranno, sempre rispettivamente, circa meno 3 omega quadro e circa meno 3 omega quadro r quadro. Quindi questa geometria approssima molto bene, per essere precisi, al secondo ordine in omega, quella del piano iperbolico. Storicamente, il primo a studiare il problema del disco rotante da un punto di vista relativistico fu Born nel 1909, mentre il primo a rendersi conto che la geometria del disco rotante è curva e quasi uguale a quella del disco iperbolico fu Kaluza nell'anno successivo. Se uno non vuole prendersi la briga di fare il calcolo, che comunque si trova in alcuni lavori in letteratura, basta osservare che, poiché il "campo gravitazionale di Langevin" aumenta all'aumentare della coordinata radiale, si hanno egli effetti mareali, e dunqu
e il tensore di Riemann NON può essere identicamente nullo
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> Inoltre come posto qui il problema (mi auguro che nel Gravitation sia posto meglio) è estremamente ambiguo. Poiché il risultato finale non è covariante, va spiegato in quale sistema di riferimento va fatto il calcolo. Nel sistema di riferimento rotante si avrà un blushift con coefficiente di dilatazione temporale uguale ad -1/2, nel sistema di riferimento fisso si avrà un redshift con coefficiente di dilatazione temporale uguale ad 2/3. Bisogna infatti tenere conto che i due sistemi di riferimento sono de-sincronizzati, e, oltre alla de-sincronizzazione dovuta al "campo gravitazionale" nel riferimento rotante, va tenuta conto anche la de-sincronizzazione tra i due riferimenti. Per capire come il problema va affrontato in modo rigoroso suggerisco di leggere il mio lavoro: "On the equivalence between rotation and gravity: "Gravitational" and "cosmological" redshifts in the laboratory". Found Phys 52, 42 (2022), pre-print in https://arxiv.org/abs/2203.02282
> Cari saluti,
> Prof. C. Corda
> On Monday, 3 April 2023 at 16:30:04 UTC+2, Elio Fabri wrote:
> > Ho scoperto appena ieri che un esercizio presente in "Gravitation"
> > (pag. 63 della prima edizione) col titolo "La centrifuga e il fotone"
> > ammette una semplice generalizzazione.
> > Ecco la versione che vi propongo di risolvere.
> >
> > Abbiamo una piattaforma rotante con velocità angolare w costante. In
> > un punto A qualsiasi è presente una sorgente di fotoni, in un altro
> > punto B qualsiasi un rivelatore. Si chiede il "redshift"
> > (l. d'onda ricevuta)/(l. d'onda emessa).
> >
> > Il problema è interessante perché ha una risposta semplice e inattesa.
> > Inoltre, contro le apparenze e contro ciò che si dice troppo spesso, è
> > un problema di RR: non è affatto necessario porsi nel rif. rotante.
> > Del resto anche se lo fosse resteremmo in RR perché lo spazio-tempo è
> > comunque piatto.
> > Lo si può risolvere senza tanti conti, a patto di saper trovare la
> > strada :-)
> > --
> > Elio Fabri
Received on Tue Apr 04 2023 - 18:07:49 CEST