Re: R: spazio tempo

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/09/24

Ciao, nella risposta a cui si riferisce Elio ho scritto

> Ovviamente sulla sfera non esistono a rigore due geodetiche che
> partono da punti vicini e che sono parallele inizialemnte,

Questo sembrerebbe in contrasto con la risposta di Elio

> Niente di piu' semplice: due meridiani partono dall'equatore entrambi > in direzione ortogonale ad esso.

Quello che dice Elio e' ovviamente corretto con qualche precisazione.
L'affermazione di Elio puo' intendersi in due modi. Le geodetiche di
cui parla hanno vettori iniziali paralleli nel senso che essi sono
paralleli nello spazio euclideo tridimensionale in cui e' immersa la
sfera. Ma questo e' proprio il concetto che non volevamo usare,
perche' e' riferito alla geometria tridimensionale estrinseca (quella
in cui si immerge la sfera) mentre il fine di tutto il discorso era
quello di definire i concetti di curvatura usando la sola geometria
intrinseca (sulla sfera). Usando la sola geometria della superficie
sferica non si puo dire in modo banale che i due vettori sono
paralleli (nel senso comune della geometria euclidea piana) proprio
perche' la superficie sferica non e' piatta e non e' chiaro cosa siano
le traslazioni. Per tale motivo dicevo che "a rigore non esistono...".
Tuttavia il concetto di parallelismo a distanza puo' essere introdotto
localmente anche in questo caso e nel caso generale di uno spazio
con geometria non euclidea in modo da generalizzare il parallelismo
euclideo. (Volevo evitare questo discorso ma ormai devo farlo altrimenti
si rischia di confondere le idee).

Prendiamo due punto p e q su uno spazio che non abbia geometria
euclidea. Se p e q sono sufficientemente vicini, esiste sempre *una
sola* geodetica che connette p e q rimanendo in un "piccolo insieme"
che contiene p e q. Nel caso in esame, tra p e q c'e' sempre una
geodetica, cioe' un arco di meridiano (spostando i poli) che li
connette (ce ne sono due di geodetiche, ma noi prendiamo la piu' corta).
Possiamo prendere un vettore in p e' trasportarlo fino a q sulla
geodetica in modo tale che durante il percorso *conservi sempre lo
stesso angolo con il vettore tangente alla geodetica*.
PER DEFINIZIONE, il vettore che si ottiene in q e' PARALLELO a quello da
cui siamo partiti in p.

E' intuitivo che questa procedura, in generale, e' mal definita quando
i punti sono troppo lontani e ci sono piu' di una geodetica che li
connette. (Sulla sfera, malgrado ci siano sempre due geodetiche tra due
punti, esse producono lo stesso "vettore parallelo", ma e' un caso molto
particolare legato al fatto che la sfera e' "massimalmente simmetrica".)

Le geodetiche che partono da punti vicini con vettori iniziali
paralleli di cui parla Elio hanno vettori paralleli in questo senso
generalizzato oltre che nel senso della geometria euclidea dello spazio.



Ciao, Valter
Received on Fri Sep 24 1999 - 00:00:00 CEST