R: problemi di meccanica quantistica

From: scottex <scottex_at_tin.it>
Date: 1999/09/24

Daniele Bonfiglio <danibonx_at_tin.it> wrote in message
7r3hd0$o77$1_at_nslave1.tin.it...
>
> Ciao, vi propongo due problemi.
> 1) Una particella con spin 1/2 ha Hamiltoniana
>
> H=p2+E(Sx+Sy)
>
> Se all'istante t=0 la media di Sz � 1/2, calcolare la durata
dell'intervallo
> T dopo il quale la media di Sz � -1/2.
>
> Il mio problema � che impostando l'equazione di S. id/dt u=Hu, ottengo un
> sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, che onestamente
> non so risolvere.

    ti ha gia' risposto valter moretti e "a parte i conti" tutto torna.
comunque non dovessi sapere cosa e' la rappresentazione di heisemberg (certe
parole ti fanno sentire importante :) ) non ti preoccupare, puoi ripetere lo
stesso ragionamento di valter tenendo conto del fatto che lo stato varia nel
tempo mentre Sz no; infatti:

    i d/dt <Sz> = i d/dt <u(t)|Sz u(t)> =
= <-i d/dt u(t)|Sz u(t)> + <u(t)|Sz i d/dt u(t)> =
= <[Sz,H]> = i E <Sy> - i E <Sx>

    i d/dt <Sx> = <[Sx,H]> = i E <Sz>

    i d/dt <Sy> = <[Sy,H]> = -i E <Sz>

si e' fatto uso del fatto che "i d/dt = H", che H e' autoaggiunta e delle
regole di commutazione dello spin; dalle precedenti derivando rispetto a t e
mettendo tutto insieme segue:

    d^2/dt <Sz> = - 2 E^2 <Sz> .

che con le opportune condizioni iniziali ti da' il risultato.

    ma c'e' anche un altro metodo, quello di risolvere l'equazione di
Schrodinger, utile da fare una volta per tutte nel caso lineare. supponiamo
che u(t) = o esp( -i h t ) (e' venuto fuori il coniglio dal cilindro!)
avremo allora:

    i d/dt u(t) = h u(t) = H u(t) -> 0 = Det(H - h I) = (p^2 - h)^2 - 2 E^2

da questa equazione otteniamo h1 e h2 tramite i quali troviamo u1 e u2:

    (H - h1 I) u1(t) = 0 -> (H - h1 I) o1 = 0 -> o1 = a (z+ - b z-)
    (H - h2 I) u2(t) = 0 -> (H - h2 I) o2 = 0 -> o2 = a (z+ + b z-)

con a e b numeri complessi tali che <o1|o2> = 0, <o1|o1> = 1; imponiamo la
condizione iniziale:

    u(0) = z+ = 1/2a (o1 + o2) -> u(t) = 1/2a (u1(t) + u2(t))

vediamo come agisce Sz su o1 e o2:

    Sz o1 = 1/2 o2
    Sz o2 = 1/2 o1

a questo punto abbiamo tutto quello che ci serve:

    -1/2 = <u(T)|Sz u(T)> = 1/4a <u(T)|o2 esp(-i h1 T) + o1 esp (-i h2 T)> =
= 1/4 esp[i(h2 - h1)T] + 1/4 esp[-i(h2 - h1)T] = 1/2 cos[(h2 - h1)T] .

nota: gli stati che abbiamo considerato sono autostati dell'impulso
(-i d/dx u = p u).

> 2) Nella rappresentazione irriducibile j=1, mostrare che se um � un
> autostato di Jz, le distribuzioni di probabilit� per Jx e Jy sono
identiche.

    la domanda non mi e' chiara. di quale stato e rispetto a quale base devo
calcolare la distribuzione di probabilita' ?

    ciao, scottex

PS per un' appassionante spiegazione della meccanica quantistica ti
consiglio il terzo volume del celeberrimo "the Feynman lectures on physics".
Received on Fri Sep 24 1999 - 00:00:00 CEST