Re: Quell'unico stato ordinato...

From: rufo rufo <zebulon_carter_at_yahoo.it>
Date: 1999/09/09

Rufo ha scritto:

>> Ciao, mi sembra che la tesi del teorema sia un po troppo
ottimistica.
>> Infatti, se non ricordo male, la tesi non �:
>>
>> "a parte un insieme a misura nulla di condizioni iniziali possibili,
>> tutti gli stati del sistema tornano ESATTAMENTE dopo un certo tempo
>> alla condizione iniziale (questo implicherebbe che tutti i sistemi
che
>> obbediscono alle ipotesi del teorema sono periodici)"
>
>> ma la seguente (potrei sbagliare, of course)
 
>> "a parte un insieme a misura nulla di condizioni iniziali possibili,
>> per ogni intorno arbitrariamente piccolo della condizione iniziale,
>> esiste un tempo t tale che il sistema sar� all'interno di tale
intorno
>> della condizione iniziale (ovviamente si intende un intorno nello
>> spazio delle fasi").

>> Se il teorema fosse come dici tu, vorrebbe dire che tutti i sistemi
che
>> soddisfano il terorema di Poincar� per quasi tutte le condizioni
>> iniziali sarebbero periodici in virt� del teorema di esistenza ed
>> unicit� della soluzione del problema di cauchy che definisce il moto
>> del sistema, cosa che non � vera.
>> I sistemi periodici sono casi molto paricolari di questo teorema.
 

Valter Moretti ha scritto:
>Ciao, non ho detto che il ritorno e' periodico,
>ho detto che "quasi ogni stato ritorna infinite volte"
>senza precisare il tempo che intercorre tra un ritorno e l'altro
>(perche' il teorema non lo permette).

Ciao.
Scusami ma non capisco. Quando tu dici che "quasi ogni stato ritorna
infinite volte", intendi dire che per quasi tutte le condizioni
iniziali possibili, considerando ad esempio il primo ritorno, il
sistema occupa ESATTAMENTE lo stesso punto dello spazio delle fasi che
occupava in partenza? Se T � il tempo che intercorre fra l'istante
iniziale e quello del primo ritorno, il moto non pu� che essere
periodico con periodo T, per il teorema di esistenza ed unicit� del
problema di Cauchy che definisce il moto del sistema.

>La tesi che hai scritto tu e' anche vera, e' la versione in un certo
>senso piu' debole del teorema da cui segue l'altra usando la
>completezza
>della misura di Lebesgue (non e' proprio banale). Purtroppo ora non ho
>sotto mano la dimostrazione. Potrebbe darsi, dato che ho citato a
>memeoria, che la tesi "forte" sia piu' semplicemente "Fissato un T
>arbitrario, per T>0 quasi ogni stato ritorna" che e' un po' piu'
>debole.

Non sapevo che esistesse una versione forte del teorema. Se mi potessi
fornire l'enunciato rigoroso te ne' sarei molto grato. Magari se mi
fornissi anche qualche riferimento, dove questo teorema viene trattato,
potrei studiarmelo con calma.
 
>La versione che fornisci tu e' quella piu' elementare che trovi
>sull'Arnold. Se ti interessa posso controllare l'enuciato forte
>e postare la dim. Fammi sapere.

Ti riferisci a: "Metodi Matematici della Meccanica Classica" ? Se �
quello lo possiedo, anche se lo trovo ostico (se definisci elementare
quello che si trova sull'Arnold, ho paura di sapere quello che ritieni
complicato ;-(( ).
Se ne hai voglia sarei ben lieto di leggerne l'enunciato e la
dimostrazione della versione forte del teorema, ma come ti ho detto, se
� un lavoraccio mi accontenterei di un riferimento.

Ciao Zeb

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