Re: La metrica di Landau

From: Christian Corda <cordac.galilei_at_gmail.com>
Date: Wed, 12 Apr 2023 00:55:33 -0700 (PDT)

On Wednesday, 12 April 2023 at 00:25:05 UTC+2, Pier Franco Nali wrote:
> Il giorno martedì 11 aprile 2023 alle 16:50:05 UTC+2 Christian Corda ha scritto:
>
>
> > >
>
>


> > E perchè non sarebbe corretta? Il Landau in proposito è chiarissimo, parla di due eventi infinitesimamente separati che avvengono nello STESSO punto dello spazio. Dei g_0j ce ne infischiamo perchè al momento in cui si pone dx1=dx2=dx3=0, a prescindere dalla presenza o assenza dei g_0j nella metrica, ci resta solo la relazione tra il tempo proprio infinitesimo e la coordinata temporale infinitesima.
> ..…
>
> Provo a spiegarmi meglio.
> Parto dalla metrica
> ds^2=(1-r’^2w^2/c^2)dt’^2-2wr’^2d\phi’dt’-dr’^2-r’^2d\phi’^2
> (sto tralasciando dz’).
>
> L’elemento di linea della sorgente nel rif. rotante lo ottengo da:
> r’=0, dr’=0, d\phi’=0�€"�€">d\phi=wdt
> e per sostituzione trovo
> ds^2=c^2 dt’^2, d\tau(sorgente)=dt’.
>
> Per l’elemento di linea dell’assorbitore rotante pongo:
> r’=R, dr’=0, d\phi’=0
> e trovo:
> ds^2/c^2=(1-R^2w^2/c^2) dt’^2, o anche d\tau(assorbitore) = dt’/\gamma
> che è il risultato che già si ottiene con la RR.
>
> Ora torno al rif. non rotante e per l’elemento di linea del rivelatore in quiete nel laboratorio pongo:
> r=r’=R, dr=dr’=0, d\phi=0�€"�€"�€">d\phi’=-wdt’
> e fatte le sostituzioni trovo
> d\tau(rivelatore)=dt’
>

> (e qui non me la posso cavare azzerando dx1, dx2, dx3 perché dx3 dipende da dt e l’eq. di Landau d\tau=sqrt(g_00)dt in questo caso non la posso applicare).

E no! Non ti è chiaro cosa si muove e cosa è fisso nei due riferimenti. Per l'osservatore rotante il punto in questione è fisso, ed è il rivelatore che si muove  e ci passa sopra. Quindi l'equazione di Landau nel riferimento rotante la puoi usare eccome!

> Per l’elemento di linea del segnale radiale pongo d\phi=0 e ottengo
> 0=dt’^2-dr’^2/c^2 ovvero dr’=cdt’=cdt=dr.
> >
>
>
>



> > Nessuno dice che la sorgente, fissa nel centro del rif. rotante ed il rivelatore esterno fisso siano de-sincronizzati. La de-sincronizzazione è tra riferimento fisso e riferimento rotante. La de-sincronizzazione dovuta alla cinematica relativistica avviene nel riferimento rotante, o per dirla nei tuoi termini in presenza del "campo gravitazionale". Poi devi tornare al riferimento fisso e considerare la de-sincronizzazione tra i riferimenti.
> > Ciao,
> > Ch..

> Dai calcoli di sopra (che poi sono semplici sostituzioni) in conclusione io trovo solo la de-sincronizzazione cinematica, che si ottiene già con la sola RR, quella tra i riferimenti non so cos’è ne
> come eventualmente calcolarla. A meno che non sia nell’ultimo passo quando torno al rif. non rotante ma li non trovo discrepanza.





Come ti ho spiegato sopra c'è discrepanza eccome, ma il punto è che quella discrepanza non c'è solo li, ma in tutti i punti precedentemente percorsi dalla luce, e di questo effetto devi tenere conto su tutta la traiettoria. La de-sincronizzazione tra i riferimenti è questa. Chiamiamo tau_R il tempo proprio nel riferimento rotante e tau_L quello nel laboratorio, e, analogalmente t_R e t_L  saranno i rispettivi tempi coordinati. Allora, nel riferimento rotante si ha d\tau_R=sqrt(g_00)d\t_R,  mentre nel riferimento fisso del laboratorio si ha d\tau_L=d\t_L. Ma la trasformazione di Langevin ci dice che è d\t_L=d\t_R, dunque d\tau_R=sqrt(g_00)d\t_L che implica d\tau_R=sqrt(g_00)d\tau_L, che è la de-sincronizzazione tra i due riferimenti di cui parlavo e che non ha niente a che vedere con la situazione cinematica della RR.
Ciao, Ch.
Received on Wed Apr 12 2023 - 09:55:33 CEST