R: R: R: Chiarimenti sugli spazi multidimensionali...

From: Fabio Ceccarelli <fabio1_at_linet.it>
Date: 1999/08/18

> > Il prodotto scalare, per poter essere definito in modo univoco, ha
bisogno
> > di una funzione di sostegno. La funzione in questione � il coseno.

> E perche' mai? Ad esempio sullo spazio R^2 formato dalle coppie di numeri
> reali definisco il prodotto scalare in questo modo:
> <(x1,y1),(x2,y2)> := x1*x2 + y1*y2.

Attenzione... stai parlando di coppie di numeri reali. Nel momento in cui
trasporti questo concetto sul piano le cose cambiano. In questo caso, per
effettuare il prodotto scalare hai bisogno di effettuare la proiezioni dei
vettori mediante la funzione coseno.

> Il coseno non serve, e anzi viene spesso definito a partire dal prodotto
> scalare.

Forse da un punto di vista teorico... ma quando passi ad un'applicazione
pratica, non credo che la cosa sia fattible.

> > Quindi,
> > prima di definire il prodotto scalare, devi definire la funzione coseno.
Ma
> > quando definisci la funzione coseno, sei costretto a prendere un
riferimento
> > cartesiano "ortogonale", nel cui origine vi � il centro della
circonferenza
> > di raggio unitario...

> La funzione coseno la puoi definire cosi':

> cos (x) = (e^(ix)+e^(-ix))/2 dove e^z = Somma_k z^k/k!

> nessun riferimento ortogonale, anzi, nessun riferimento, solo somme e
> prodotti di numeri complessi. Se ti danno fastidio i numeri complessi puoi
> fare tutto senza problemi usando solo i numeri reali.

Sar� anche vero che puoi usare le serie di funzioni per calcolarti il
coseno... ma prova a dedurre una di queste serie senza aver definito il
coseno nel modo consueto. Prova a far finta che la funzione coseno non sia
stata definita. In questo caso, trova una serie di funzione, che riesca a
soddisfare le propriet� del coseno. E' vero che data una funzione continua �
possibile svilupparla in serie... ma non credo che tu prendendo una serie
qualsiasi sia in grado di trovare una funzione che soddisfi "esattamento" le
tue esigenze. In questo caso non st� parlando di approssimazione di funzioni
mediante funzioni polinomiali (es: Hermite, Lagrange-Sylvester ecc.) e
nemmeno approssimazioni ai minimi quadrati nella norma infinito (Pad�,
Chebychev ecc.). Queste funzioni permettono di simulare una funzione
all'interno dei nodi di interpolazione, ma falliscono totalmente all'esterno
dell'intervallo di interpolazione. Tu invece dovresti trovare una serie che
vada bene su tutto l'intervallo di continuit� della funzione... senza avere
la funzione di partenza... credo che sia un'impresa ardua!
Per cui, anche se numericamente � la stessa cosa... concettualmente credo
che siano due cose completamente diverse ;-)

> > L'unico modo per venirne fuori � quello di usare il concetto di
traslazione
> > e confronto (tanto caro alla geometria euclidea...). Cos�, traslando (e
> > ruotando) il primo quadrante, e sovrapponendolo al secondo, puoi
renderti
> > conto che sono uguali. In questo modo, hai gi� definto il riferimento
> > cartesiano ortogonale. Ora puoi tranquillamente definire il coseno, ed
> > infine il prodotto scalare.

> Mi piacerebbe sapere come fai a dire che due insiemi sono uguali se non
> sei nemmeno in grado di misurare le distanze dei punti...

Non c'� bisogno di effettuare una misura... i due insiemi (in questo caso)
si estendo all'infinito. Basta, ruotare il primo quadrante fino a quando non
si sovrappone completamente al secondo.
Come vedi non ho bisogno di "misurare" le distanze fra i punti...

Ciao.

Fabio Ceccarelli
Received on Wed Aug 18 1999 - 00:00:00 CEST