R: R: Chiarimenti sugli spazi multidimensionali...

From: Roberto <robcec_at_tin.it>
Date: 1999/08/16

> Il prodotto scalare viene messo A PRIORI sullo spazio. Ti assicuro che
> dato uno spazio vettoriale reale (senza alcuna ulteriore struttura) NON E'
> POSSIBILE definire il concetto di ortogonalita' in maniera intrinseca.

> > Lo spazio che st� considerando � il piano (dimensione 2). Su di esso
sono
> > rappresentate due rette. Se sono ortogonali, allora i semipiani saranno
> > uguali (� la stessa cosa di quando si applica il prodotto scalare. Dire
che
> > il prodotto scalare fra due vettori non nulli � zero equivale a dire che
fra
> > loro c'� un angolo di 90 gradi. Ma dire che fra due rette c'� un angolo
di
> > 90 gradi, oppure dire che esse suddividono il piano in quattro semipiani
> > uguali... � la stessa cosa!

> Si', peccato che il concetto di "uguale" si basa sull'aver fissato un
> prodotto scalare nel piano. Altrimenti non sei in grado di dire quando due
> insiemi del piano sono "uguali" (provare per credere).

Il prodotto scalare, per poter essere definito in modo univoco, ha bisogno
di una funzione di sostegno. La funzione in questione � il coseno. Quindi,
prima di definire il prodotto scalare, devi definire la funzione coseno. Ma
quando definisci la funzione coseno, sei costretto a prendere un riferimento
cartesiano "ortogonale", nel cui origine vi � il centro della circonferenza
di raggio unitario...
Ma nel momento in cui tu prendi questo sistema di riferimento (per definire
il coseno), stai utilizzando gi� il concetto di "prodotto scalare"...
E' un ragionamento ricorsivo... Infatti per definire il prodotto scalare
hai bisogno del coseno; per definire il coseno hai bisogno di un sistema di
riferimento cartesiano ortogonale; per definire il sistema di riferimento
cartesiano ortogonale hai bisogno del prodotto scalare.
L'unico modo per venirne fuori � quello di usare il concetto di traslazione
e confronto (tanto caro alla geometria euclidea...). Cos�, traslando (e
ruotando) il primo quadrante, e sovrapponendolo al secondo, puoi renderti
conto che sono uguali. In questo modo, hai gi� definto il riferimento
cartesiano ortogonale. Ora puoi tranquillamente definire il coseno, ed
infine il prodotto scalare.

Ciao, e grazie per essere intervenuto.
Received on Mon Aug 16 1999 - 00:00:00 CEST