Re: sinx > 1

From: Marco Coletti <marco.coletti_at_ZZZeurofin.it>
Date: 1999/08/09

"Marco Masina" <otrotroc_at_tin.it> wrote:
>Quando ho fatto analisi 1 io un tizio venne bocciato perch� rispose in modo
>sbagliato alla seguente domanda:

Non ho idea del perch� venne bocciato, ma presumo che il prof fosse un tipo un
p� rigido perch� la domanda non ha una sola risposta "giusta".

>Quanto fa arcsin(sin(pgreco)) ?

Il seno non � una funzione monotona sull'intero dominio di definizione R,
quindi si pu� invertire solo su singoli intervalli di monotonicit�. Per esempio
nell'intervallo [-Pi/2,Pi/2] il sin() � invertibile e - di solito - si da il
nome arcsin() all'inversa di sin() su quell'intervallo.
Per cui, siccome Pi � fuori da quell'intervallo, non possiamo aspettarci che
arcsin(sin(Pi)) = Pi, infatti
arcsin(sin(Pi)) = arcsin(0) = 0
Questa suppongo fosse la risposta che voleva sentire il prof.

D'altra parte spesso nella pratica ci si trova a scrivere i calcoli senza tanti
riguardi alla rigorosit� analitica (tipico nell'ingegneria) e ci si pu� trovare
a scrivere arcsin(sin(x)) sapendo gi� che con arcsin() si intende la opportuna
funzione tale che {arcsin(sin(x)) = x} a seconda del valore di x.
Vale a dire che arcsin() diventa una comoda abbreviazione per "la funzione
inversa di sin() nell'intervallo di monotonicit� che mi interessa" e quindi pu�
anche essere arcsin(sin(Pi)) = Pi.

Infine, credo che la maniera pi� elegante di risolvere la quaestio sia quella
di considerare POLIDROMA la funzione arcsin(), vale a dire considerarla una
funzione [-1,1] -> {sottoinsiemi di R} anzich� [-1,1] -> R.
In questo modo la si pu� considerare l'inversa di sin() su tutto R, e avremo:

arcsin(sin(x)) = {y| y = x + k*2Pi, con k in Z} U {y| y = Pi-x + k*2Pi, con k
in Z}

o pi� brevemente e meno rigorosamente:

arcsin(sin(x)) =| x + 2kPi, con k=...,-2,-1,0,1,2,...
. | -x + (2k+1)Pi, con k=...,-2,-1,0,1,2,...

Che con x = Pi si riduce a:

arcsin(sin(Pi)) =| (2k+1)Pi, con k=...,-2,-1,0,1,2,...
. | 2kPi, con k=...,-2,-1,0,1,2,...


Continuiamo eventualmente su it.scienza.matematica (ho impostato il
Followup-to).

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Marco Coletti
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Received on Mon Aug 09 1999 - 00:00:00 CEST

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