Il 19/04/2023 12:05, Elio Fabri ha scritto:
> Visto il grande successo del precedente problema :-) ve ne propongo un altro.
>
> Siano (t,x) le coord. in un dato rif. inerziale~K. Un corpo si muove
> rispetto a K con legge oraria(w1>0, h1>0)
> x1 = h1 cosh(w1 tau1)
> t1 = h1 sinh(w1 tau1)
> ed emette impulsi luminosi in avanti, a intervalli regolari dtau del
> suo tempo proprio, iniziando con tau1=0.
>
> Un secondo corpo si muove con legge oraria (w2>0, h2>h1)
> x2 = h2 cosh(w2 tau2)
> t2 = h2 sinh(w2 tau2)
> A quali valori del suo tempo proprio riceve gli impulsi?
Intendo che tau1 sia il tempo proprio del corpo 1,
allora w1 e h1 non sono indipendenti,
la quadrivelocità del corpo 1 è
u1 = (h1 w1 cosh(w1 tau1), h1 w1 sinh(w1 tau1)),
u1^2 = -1 => h1 w1 = 1,
analogamente per il corpo 2.
Il corpo 1 emetta impulsi ai tempi propri n dtau
con n naturale, questi arrivino al corpo 2 ai tempi
tau2, dato che gli eventi trasmissione e ricezione
sono separati da un intervallo invariante di tipo luce
si ha
x2 - x1 = t2 - t1 =>
h2 cosh(w2 tau2) - h1 cosh(n w1 dtau) =
h2 sinh(w2 tau2) - h1 sinh(n w1 dtau) =>
h2 [cosh(w2 tau2) - sinh(w2 tau2)] =
h1 [cosh(n w1 dtau) - sinh(n w1 dtau)] =>
h2 exp(-w2 tau2) = h1 exp(-n w1 dtau) =>
log(h2/h1) - w2 tau2 = - n w1 dtau =>
tau2 = n w1/w2 dtau + log(h2/h1) / w2,
cioè gli eventi di ricezione sono separati
da intervalli di tempo proprio w1/w2 dtau.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Wed Apr 19 2023 - 15:26:13 CEST