(wrong string) � sbagliata! :)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/07/16

Biagio wrote:

> . Sapevo di un formalismo che utilizza come elementi dello spazio le
> distribuzioni in spazi di Sobolev, l'ha cacciata un giorno il mio prof di
> metodi in una delle sue esternazioni contro i matematici pignoli che non
> credono alla delta come autostato della posizione proprio perch� non � di
> L2, qualcuno mi sa dire qualcosa di pi�?
> .

 Ciao, sono possibili tante cose, in particolare e' possibile estendere
il concetto di (rappresentazione di) stato includendo le distribuzioni
di Schwarz. Tuttavia sono sempre estensioni che funzionano fino ad un
certo punto perche' escono fuori dallo spazio di Hilbert per cui i
pretesi stati generalizzati hanno sempre patologie
che si escplicano nella non normalizzabilita' e quindi nell'assenza
di interpretazione probabilistica. Certo se uno si inventa una nuova
definizione di probabilita' che estenda quella una misura
positiva fiunita, forse si riesce a dare senso anche a questi stati
non normalizzabili. Pero' io non ne ho mai sentito parlare.
Che gli "stati fuori da L^2" siano cose utili nei calcoli e
nell' interpretazione fisica nessun dubbio, ma che dicano qualcosa di
piu' (cioe' che aggiungano della "fisica" alla
formulazione data negli spazi di Hilbert per la meccanica quantistica
NON dei campi) e', a mio parere, falso.
Non ho capito in che modo fare entrare gli spazi di Sobolev, che
comunque sono spazi di Hilbert sottospazi del "grosso" spazio di Hilbert
ambiente. Per esempio per definire, senza trasformata di
Fourier-Plancherel, il dominio di autoaggiunzione dell'operatore
impulso e' spesso comodo assegnarlo facendo ricorso ad uno spazio di
Sobolev. In ogni caso se senti il tuo professore chiedigli, per favore,
cosa intendesse, che magari si riferiva a qualcosa che non so.

Il fatto che la teoria quantistica si possa sempre formulare in spazi di
Hilbert e' anche questo falso se si considera la teoria quantistica dei
campi. Allora si riesce a provare che la nozione di spazio di Hilbert e'
troppo povera (generalmente nel momento in cui ci sia (auto)interazione
dei campi) e bisogna generalizzarla alla nozione di spazio degli stati
algebrici pensati come funzionali positivi normalizzati su una C*
algebra. In questo caso sono ammissibili stati che non sono
rappresentabili nello stesso spazio di Hilbert.
Nel caso della meccanica quantistica NON dei campi, c'e' un famoso
teorema dovuto a Von Neumann che assicura che, sotto ipotesi naturali
legate alle relazioni di commutazione degli operatori posizione ed
impulso (algebra di Weyl), tutti gli stati di un sistema fisico sono
rappresentabili, a meno di isomorfismi, in uno stesso spazio di Hilbert.
In teoria dei campi il teorema non vale piu'. Facendo la teoria dei
campi quantistici su uno spaziotempo curvo, cioe' in presenza di
"gravita" non quantizzata, la strada degli
stati algebrici e' poi praticamente obbligatoria per diversi motivi,
anche quando i campi non interagiscono (ma interagiscono con la
gravita'!). La radiazione di Hawking per i buchi neri puo' essere
formulata in maniera piuttosto pulita nella teoria degli stati
algebrici.

Spero di averti detto qualcosa di comprensibile.

Ciao, Valter Moretti
      Dipartimento di Matematica
      Universita' di Trento

Ciao, Valter Moretti
Received on Fri Jul 16 1999 - 00:00:00 CEST