(wrong string) � sbagliata! :)

From: rufo rufo <zebulon_carter_at_yahoo.it>
Date: 1999/07/16

Valter Moretti ha scritto:

>Falso problema. (Non in teoria di campo quantistica)
>lo spazio degli stati NON e' uno spazio vettoriale,
>ottenuto da uno spazio di Hilbert quozientato
rispetto >alla relazione

>psi equivalente a phi <=> esiste A, numero complesso
>non nullo con psi = A phi.

>Le classi di equivalenza si dicono "raggi". Lo spazio
>quoziente che ottieni e' uno spazio proiettivo dotato
>di una distanza indotta dal prodotto scalare dello
>spazio di Hilbert che lo rende spazio metrico
>completo.

>Si vede che ha due componenti connesse, una e'
>"grande" e l'altra e' costituita dal solo vettore
>nullo. Si *assume* che gli stati siano rappresentati
>da punti nella componente connessa "grande".


Ti voglio porre la seguente domanda:
consideriamo un oscillatore armonico unidimensionale.
Sia |0> lo stato fondamentale e "a" l'operatore di
distruzione (non ricordo se � (x+ip)/sqrt(2) oppure
(x-ip)/sqrt(2) comunque � quell'operatore tale che
a|n>=sqrt(n)|n-1>, dove |n> � l'ennesimo autostato
dell'oscillatore armonico; ovviamente ho posto
m=h/2p=omega=1).

Come interpretare la relazione:

         a|0>=0 ?

In questo caso |0> � rappresentabile come uno dei
raggi
della componente connessa grande, mentre "0", penso
che sia l'unico abitante della componente connessa
piccola.

Quale rigore matematico, ha la relazione che ho
scritto? In particolare si pu� passare da una
componente all'altra con questa noncuranza?
Qual'� la sua interpretazione fisica?

Tra l'altro questa mi sembra una questione piuttosto
importante, perch� questo "trucco" risulta a volte
molto utile anche nella teoria del momento angolare.
Ritornando all'equazione che ho scritto, ad esempio
consente di calcolare l'espressione della funzione
d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore
armonico, e di conseguenza di tutti gli altri
autostati (applicando ripetutamente l'operatore di
creazione), in maniera assai semplice rispetto alla
soluzione brutale dell'equazione di Scroedinger.


>Quindi NON e' vero che lo spazio degli stati e' uno
>spazio lineare, e' invece vero che ciascuno stato sia
>rappresentato, *in infiniti modi*, su uno spazio
>lineare, ma non e' vero che tutti gli elementi dello
>spazio lineare corrispondano a stati (per esempio il
>vettore nullo, ma ci sono altri casi in presenza di
>regole di superselezione).

Potresti spiegarmi meglio questa faccenda delle regole
di supeselezione, magari con qualche esempio se
possibile? In particolare questi vettori appartengono
alla stessa classe della componente connesse che
contiene il vettore nullo, oppure appartengono ad un a
terza componente connessa?

>Il principio di sovrapposizione vale "quando vale",
>cioe' escludento le eccezioni dette, in particolare
>come condizione necessaria ma non sufficiente, i
>vettori della sovrapposizione devono rappresentare
>stati.

Quindi esistono dei casi in cui una combinazione
lineare di vettori dello spazio lineare associabili a
stati da luogo ad un vettore non associabile ad uno
stato del sistema. Questo dovrebbe voler dire che i
vettori della combinazione lineare e il risultato
della stessa appartengono a componenti connesse
diverse.
Un esempio di questa congettura potrebbe essere
banalmente: |psi>-|psi>=0?
Dove |psi> � un vettore appartenente alla componente
connessa grande, e rappresentativo di uno stato del
sistema, e 0 al solito (forse) l'unico esponente della
componente connessa piccola.

Ciao Zeb
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