(wrong string) � sbagliata! :)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/07/17

rufo rufo wrote:
>
> Valter Moretti ha scritto:
>
> >Falso problema. (Non in teoria di campo quantistica)
> >lo spazio degli stati NON e' uno spazio vettoriale,
> >ottenuto da uno spazio di Hilbert quozientato
> rispetto >alla relazione
>
> >psi equivalente a phi <=> esiste A, numero complesso
> >non nullo con psi = A phi.
>
> >Le classi di equivalenza si dicono "raggi". Lo spazio
> >quoziente che ottieni e' uno spazio proiettivo dotato
> >di una distanza indotta dal prodotto scalare dello
> >spazio di Hilbert che lo rende spazio metrico
> >completo.
>
> >Si vede che ha due componenti connesse, una e'
> >"grande" e l'altra e' costituita dal solo vettore
> >nullo. Si *assume* che gli stati siano rappresentati
> >da punti nella componente connessa "grande".
>
> Ti voglio porre la seguente domanda:
> consideriamo un oscillatore armonico unidimensionale.
> Sia |0> lo stato fondamentale e "a" l'operatore di
> distruzione (non ricordo se � (x+ip)/sqrt(2) oppure
> (x-ip)/sqrt(2) comunque � quell'operatore tale che
> a|n>=sqrt(n)|n-1>, dove |n> � l'ennesimo autostato
> dell'oscillatore armonico; ovviamente ho posto
> m=h/2p=omega=1).
>
> Come interpretare la relazione:
>
> a|0>=0 ?
>
> In questo caso |0> � rappresentabile come uno dei
> raggi
> della componente connessa grande, mentre "0", penso
> che sia l'unico abitante della componente connessa
> piccola.
>

Hai ragione, ma non vedo bene il problema. L`operazione di sopra
trasforma uno stato in un non-stato, ma non c`e` niente di male.

> Quale rigore matematico, ha la relazione che ho
> scritto?

E` rigorosa dal punto di vista matematico.

> In particolare si pu� passare da una
> componente all'altra con questa noncuranza?

Certo, purche` tu non pretenda di pensare a 0 come stato.
Non mi pare che ci siano noncuranze. Forse ho capito male il problema,
puoi spiegre meglio?

> Qual'� la sua interpretazione fisica?
>
> Tra l'altro questa mi sembra una questione piuttosto
> importante, perch� questo "trucco" risulta a volte
> molto utile anche nella teoria del momento angolare.

Io non assegno nessuna interpretazione fisica alle equazioni di sopra.
E` solo matematica. Gli operatori che consideri (che tra l`altro non
sono nemmeno osservabili) servono ha costruire
una particolare base in uno spazio di Fock, questi vettori di base
hanno poi un`interpretazione fisica tutti eccetto il vettore nullo.
Forse tu ti chiedi se e` possibile riformulare tutta la costruzione
della base usando solo lo spazio proiettivo. credo si possa fare
anche se non ci ho mai pensato. E` ovvio allora che devi usarlo proprio
tutto cioe` anche lo zero, pero` tutto cio` NON necessita di
interpretare 0 come stato fisico.
 


> Ritornando all'equazione che ho scritto, ad esempio
> consente di calcolare l'espressione della funzione
> d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore
> armonico, e di conseguenza di tutti gli altri
> autostati (applicando ripetutamente l'operatore di
> creazione), in maniera assai semplice rispetto alla
> soluzione brutale dell'equazione di Scroedinger.
>

Sono d`accordo, inoltre il formalismo detto permette di costruire la
teoria dei campi quantistica...


 
> >Quindi NON e' vero che lo spazio degli stati e' uno
> >spazio lineare, e' invece vero che ciascuno stato sia
> >rappresentato, *in infiniti modi*, su uno spazio
> >lineare, ma non e' vero che tutti gli elementi dello
> >spazio lineare corrispondano a stati (per esempio il
> >vettore nullo, ma ci sono altri casi in presenza di
> >regole di superselezione).
>
> Potresti spiegarmi meglio questa faccenda delle regole
> di supeselezione, magari con qualche esempio se
> possibile? In particolare questi vettori appartengono
> alla stessa classe della componente connesse che
> contiene il vettore nullo, oppure appartengono ad un a
> terza componente connessa?

SI, ti faccio un esempio semplicissimo. Una particella con carica
a priori dovrebbe essere descritta, a livello di spazio di Hilbert,
in uno spazio di Hilbert dato
dal prodotto scalare dello spazio delle coordinate per uno spazio
C^2 dove vive un operatore autoaggiunto corrispondente all`osservabile
carica con autovalori +q e -q. In realta` nessuno ha mai visto stati di
sovrapposizione di carica: una particella ha sempre carica definita: + o
carica -. Questo significa che stati del tipo

psi(x) |+q> + psi`(x) |-q>

non esistono e che tali vettori non rappresentano stati benche` siano
vettori ammissibili.
Se vai a vedere come e` fatto lo spazio degli stati quozientando
nel solito modo e infine restringendolo tenendo conto della regola di
supreselezione detta, vedi che ora ci sono 3 componenti connesse nello
spazio degli stati: lo zero, quella a carica +e quella a carica -. (per
essere precisi nello spazio degli stati ce ne sono solo due perche` lo 0
non e` uno stato).



>
> >Il principio di sovrapposizione vale "quando vale",
> >cioe' escludento le eccezioni dette, in particolare
> >come condizione necessaria ma non sufficiente, i
> >vettori della sovrapposizione devono rappresentare
> >stati.
>
> Quindi esistono dei casi in cui una combinazione
> lineare di vettori dello spazio lineare associabili a
> stati da luogo ad un vettore non associabile ad uno
> stato del sistema. Questo dovrebbe voler dire che i
> vettori della combinazione lineare e il risultato
> della stessa appartengono a componenti connesse
> diverse.
> Un esempio di questa congettura potrebbe essere
> banalmente: |psi>-|psi>=0?

Si e` cosi`!

> Dove |psi> � un vettore appartenente alla componente
> connessa grande, e rappresentativo di uno stato del
> sistema, e 0 al solito (forse) l'unico esponente della
> componente connessa piccola.

Certo e` come dici.

Ciao, Valter

PS se rispondi tieni conto che sono via fino ad agosto e non potro
   rispondere prima.
Received on Sat Jul 17 1999 - 00:00:00 CEST