Re: problemi con i gruppi ad un parametro di operatori unitari

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/06/10

Martin Sileno wrote:
>

> >
> Se ti interessa consultare testi sull'argomento ti consiglio vivamente il
> Reed-Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics", Academic Press (mi
> sembra il secondo volume ma non ci giurerei).
> Comunque per quanto riguarda il tuo problema specifico, eccoti un utile
> teorema (tratto del libro citato in precedenza:
> TEOREMA
> A operatore autoaggiunto, U(t) = exp(itA)
> 1) per ogni t reale U(t) e' un operatore unitario e U(t+s)=U(t)U(s) per ogni
> t,s reali.
> 2) se v e' un vettore dello spazio di Hilbert, U(t)v tende a U(s)v per t che
> tende a s (chiaramente in norma Hilbert)
> 3) se u (vettore in H) appartiene al dominio di A, (U(t)u - u) / t tende a
> iAu per t che tende a 0
> 4) se esiste il limite per t che tende a 0 di (U(t)u - u) / t allora u
> appartiene al dominio di A
> Non ho pensato a lungo alla soluzione del tuo problema, ma a prima vista, la
> risposta sta tutta nelle proprieta' 3) e 4), infatti se A e' limitato il suo
> dominio e tutto lo spazio di Hilbert e allora la 3) ci dice che la funzione
> e' analitica (se e' analitica U(t)u a maggior ragione (per la continuita'
> del prodotto scalare) lo sara' (u,U(t)u)), mentre se la funzione e'
> analitica per un certo x allora la proprieta' 4) ci assicura che x
> appartiene al dominio di A ossia che A su x e' limitato, se la cosa vale per
> l'intero H evidentemente A e' limitato.
> Non so se sono stato chiaro, comunque, dai una letta al libro...sara'
> senz'altro piu' chiaro dei miei farfugliamenti :-).
> A presto,
>
> Martin Sileno

Ciao Martin, si e' discusso sul problema su it.scienza.matematica e
abbiamo dato due dimostrazioni diverse per
P => Q ma anche ho dato una dimostrazione per Q => P quando Q e'
rafforzato richiedendo che l'analiticita' vale per tutti gli x.
(purtroppo mi sembra che siano spariti quasi tutti i posts di
it.scienza.matematica e di 500 circa che erano sono rimasti un centinaio
per cui non riesco piu' a trovare i posts in questione).

Quello che non capisco in quello che dici (il teorema che citi e'
l'inverso del "teorema di Stone") e' come fai a dire che 3) implichi
l'analiticita' della funzione in questione se A e' limitato.
Cio' sarebbe vero se il limite nel punto 3) fosse calcolato per t
complesso esistendo la funzione in questione in un intorno complesso di
t=0, ma il teorema che citi non lo dice. E' vero che se A e' limitato
allora la funzione e' definita per t complesso e il limite si puo'
calcolare anche per t complesso, ma e' proprio questo che bisogna
provare!
L'uso del punto 4 implicherebbe come sostieni la limitatezza di A.
Tuttavia il punto 4 lavora nella topologia forte, mentre il
problema posto e' dato usando la topologia debole. Quindi il fatto
che Q => P quando la proprieta' Q vale per tutti gli x e' un po'
(solo un po') piu' complicata da provare.

Ciao, Valter Moretti
 
Dipartimento di Matematica
Universita' di Trento
Received on Thu Jun 10 1999 - 00:00:00 CEST