Re: problemi con i gruppi ad un parametro di operatori unitari

From: Martin Sileno <micorre_at_tin.it>
Date: 1999/06/04

Daniele Bonfiglio ha scritto nel messaggio <7ihc6v$ca$2_at_nslave1.tin.it>...
>
>Ciao a tutti, vi scrivo per sottoporvi un problema.
>Sia A un operatore autoaggiunto (non necessariamente limitato) e x
>appartenga al dominio di A, definito in uno spazio di Hilbert H; si
>consideri la funzione
>X(t)=(x,exp(-itA)x) per t reale.
>Date le due proposizioni P="A � un operatore limitato su H" e Q="X � una
>funzione analitica", vorrei un aiuto per decidere se esistono delle
>implicazioni tra le due.
>Molte grazie.
>
>
Se ti interessa consultare testi sull'argomento ti consiglio vivamente il
Reed-Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics", Academic Press (mi
sembra il secondo volume ma non ci giurerei).
Comunque per quanto riguarda il tuo problema specifico, eccoti un utile
teorema (tratto del libro citato in precedenza:
TEOREMA
A operatore autoaggiunto, U(t) = exp(itA)
1) per ogni t reale U(t) e' un operatore unitario e U(t+s)=U(t)U(s) per ogni
t,s reali.
2) se v e' un vettore dello spazio di Hilbert, U(t)v tende a U(s)v per t che
tende a s (chiaramente in norma Hilbert)
3) se u (vettore in H) appartiene al dominio di A, (U(t)u - u) / t tende a
iAu per t che tende a 0
4) se esiste il limite per t che tende a 0 di (U(t)u - u) / t allora u
appartiene al dominio di A
Non ho pensato a lungo alla soluzione del tuo problema, ma a prima vista, la
risposta sta tutta nelle proprieta' 3) e 4), infatti se A e' limitato il suo
dominio e tutto lo spazio di Hilbert e allora la 3) ci dice che la funzione
e' analitica (se e' analitica U(t)u a maggior ragione (per la continuita'
del prodotto scalare) lo sara' (u,U(t)u)), mentre se la funzione e'
analitica per un certo x allora la proprieta' 4) ci assicura che x
appartiene al dominio di A ossia che A su x e' limitato, se la cosa vale per
l'intero H evidentemente A e' limitato.
Non so se sono stato chiaro, comunque, dai una letta al libro...sara'
senz'altro piu' chiaro dei miei farfugliamenti :-).
A presto,



Martin Sileno
Received on Fri Jun 04 1999 - 00:00:00 CEST