Re: Qualcuno sa....?: Equazioni di Lagrange

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: 1999/04/20

Andrea Di Biase ha scritto:
> 1. Cosa significa fisicamente la equazione di Lagrange:
> d(dL/dq[i])/dq -dl/dq[i]=u[i] ?
> 2. Cosa sono le coorinate lagrangiane q[i]?
> 3. Quale e' l'applicazione di passaggio cartesiane->Lagrangiane e
> vic.?
> 4. che spazio descrivono in particolare?
> 5. Come si tratta l'inerzia? (viene trattata formalmente come la
> massa)
> L=lavoro=EnCin-EnPot.; u=coppia al fulcro (se pendolo);
> q=coordinata lagrangiana
Le domande sono in sostanza una sola.
Ma una domanda viene a me di farla: su che libro stai studiando?
possibile che non ci sia nessuna risposta a queste domande?
(Debbo dire che a me riesce sempre piu' misterioso come viene condotto
l'insegnamento nelle facolta' d'ingegneria ... ma lasciamo perdere...)
Non posso farti un breve corso di meccanica analitica: cerco di darti
alcune idee di base, ma poi devi cercarti qualche libro decente. Prova
ad es. il Goldstein "Meccanica classica" (Zanichelli).

Partiamo dal semplice punto materiale non vincolato.
Niente ti vieta di descriverne la posizione usando, al posto delle
coord. cartesiane, altre coordinate: ad es. polari.
Puoi pazientemente ricavarti le eq. differ. per r, theta, phi a partire
da quele per x, y, z (eccoti in questo caso l'applicazione di passaggio)
e troverai comunque delle eq. diff. del secondo ordine, che non sono che
un caso partic. delle eq. di Lagrange.

Se invece di un punto materiale hai sun sistema di punti (per es. il
sistema solare, con Sole e pianeti trattati come punti) puoi fare la
stessa cosa: ora le coordinate sono di piu', tante quanti i gradi di
liberta' del sistema, ma per il resto non cambia niente.
Sempre per un sistema, puoi usare altre coordinate: per es. le coord.
del centro di massa + le coord. dei punti relative al cdm. Avrai ancora,
per queste nuove coordinate, eq. diff. dello stesso tipo.

Infine: puoi avere un sistema con vincoli (un pendolo, un manubrio ossia
due masse legate da una barretta rigida, un giroscopio, il sistema
pistone-biella-manovella di un motore a comb. interna).
In questi casi ti conviene usare coordinate "adattate ai vincoli". Nel
caso semplice del pendolo, sceglierai coord. polari con origine nel
punto di sospensione, perche' cosi' il vincolo dice semplicemente
r=cost. e ti restano solo i due angoli.
Il metodo di D'Alembert-Lagrange insegna come ricavare automaticamente
le equazioni per un caso qualunque, nella forma che sai (eq. di
Lagrange): basta scegliere le coordinate e scrivere la lagrangiana L =
T-V (attento: L non vuol dire lavoro!!).

Quanto all'inerzia, appare automaticamente nell'energia cinetica, non te
ne devi preoccupare. Se sei in coord. cartesiane, figurera' la massa. Se
usi degli angoli, compariranno i momenti d'inerzia.

Per finire, le eq. di Lagrange le hai scritte un po' male:
 d(DL/Dz[i])/dt - DL/Dq[i] = 0
dove z[i] = dq[i]/dt e D significa derivata parziale.

Le u[i] a secondo membro non ci sono, o meglio sono DL/Dq[i]. Percio'
non mettercele due volte!
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
Received on Tue Apr 20 1999 - 00:00:00 CEST