Re: Tensori di curvatura

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/03/26

Nicola Alex Tateo wrote:

>
> Sostituisci il cono molto alto con la curvatura che potrebbe essere causata, per esempio, da
> una stella di neutroni. Metti che noi ci troviamo in un punto ben preciso da una parte di
> questa curvatura: allora la luce di una stella che si trova dalla parte opposta viagger�
> sempre in modo lineare pur "sprofondando" dentro la "fossa" generata dalla gravit� della
> stella: ovvero, mentre per un essere teoricamente in grado di percepire le 4 dimensioni la
> luce seguirebbe una traiettoria tutt'altro che lineare, per la luce stessa come per
> qualunque essere in grado di percepire solo 3 dimensioni (come noi) la traiettoria sarebbe
> perfettamente lineare.Cio�, per accorgerti che la strada seguita non � la pi� breve devi
> essere in grado di percepire una dimensione in pi� di quanto non siamo in grado di fare.
> Ciao!
> Nicola Tateo

 Ciao, non mi pare che quadri del tutto, vediamo un po' (comunque
 non ho ben capito l'esempio della della stella molto massiva:
 proprio nelle 3 dimensioni spaziali la traiettoria della luce e' in
 generale "curva" (deflessa) in presenza della stella massiva eccetto
 il caso che il raggio punti proprio verso la stella ).
 

 Facciamo un po' d'ordine sulla questione delle goedetiche.

 Le geodetiche sono *localmente* le curve
 piu' brevi che connettono due punti se la "metrica" (che e' l'ente
 matematico che permette di definire tra le altre cose le lunghezze)
 dello spazio in senso astratto ( a n dimensioni) e' di tipo
 "euclideo".
 "Localmente" significa che i punti estremi delle curve considerate
 sono opportunamente vicini.
 In questo senso il discorso della formica sul cono potrebbe
 andare perche' il cono ha una metrica euclidea. Quello che non
 andava nel discorso della formica sul cono era che sembrava che
 dicessi che le geodetiche minimizzano la lunghezza non solo per
 punti vicini, ma sembrava che dicessi che lo fanno anche per punti
 lontani... e io ti avevo costruito un controesempio (il caso del
 cono e' poi pericolosissimo perche' c'e' la maledetta singolarita'
 conica...)
 
 Se invece il discorso era nello spaziotempo, attenzione, la metrica
 dello spaziotempo NON e' euclidea ma "lorentziana" e la proprieta'
 di minimo delle lunghezze e' falsa anche per punti vicini (parlo qui
 proprio della lunghezza in 4 dimensioni, cioe' usando il tuo
 paragone, la lunghezza per l'ipotetico essere che vedesse le 4
 dimensioni).
 Negli spazi a metrica lorenziana la proprieta' delle lunghezze
 delle geodetiche in generale si ribalta: le geodetiche (di tipo
 tempo) localmente MASSIMIZZANO la distanza tra due eventi!
 (Il paradosso dei gemelli, nella versione con i gemelli
 uno inerziale e l'altro no, ha spiegazione proprio in seguito a
 questa proprieta': il gemello inerziale, quello che segue la
 geodetica, alla fine sara' davvero piu' vecchio dell' altro gemello
 che non si e' "evoluto" lungo una geodetica perche' il tempo
 e' proprio la lunghezza delle curve spaziotemporali con cui evolvono
 i due gemelli.)

 Come vedi le proprieta' delle geodetiche sono insidiose per quanto
 riguarda la stazionarizzazione (massimizzazione e minimizzazione)
 delle lunghezze, per tale motivo, specialemnte nelle varieta' con
 metrica lorentziana si definiscono le geodetiche lasciando perdere la
 procedura di stazionarizzazione e considerando il "trasporto
 parallelo". Le geodetiche hanno la proprieta' che trasportano
 parallelamente a loro stesse il loro vettore tangente, curve non
 geodetiche non hanno tale proprieta':
 procedendo lungo la curva a passi infinitesimi, il vettore
 tangente devia da quello ottenuto al passo precedente (per spiegare
 bene questa storia ci voerrebbe un po' piu' di tempo e ora non ne
 ho molto!).
    
  Ciao, Valter Moretti

  Dipartimento di Matematica
  Universita' di Trento
Received on Fri Mar 26 1999 - 00:00:00 CET