Il giorno lunedì 7 agosto 2023 alle 14:05:04 UTC+2 Abraham Simpson ha scritto:
...
> Avresti p = dL/dq' = 2q'*f(q), H = sup_q'( pq'-L )= L.
...
> No, e' una variabile, vedi sopra. Stiamo facendo analisi funzionale.
> Questa e' l'unica definizione della trasformata di Legendre.
> Spesso trovi nei libri che
> H(p,q) = pq'-L(q,q')
> Ma, un momento! H dipende da due variabili, p e q.
> Mentre a destra ho ben tre variabili: p, q, q'.
> Come fa una a scomparire?
> L'unica e' che la trasformata alla fine NON dipenda da q'.
> Se prendo il sup su q', rhs non dipende piu' da q'.
>
Grazie alla tua e altre risposte e ad un piccolo approfondimento hi capito un tantino meglio. Il punto che mi confondeva è che in meccanica analitica, prima si definisce p = _at_L(q, q')/_at_q' e poi si definisce H(q, p) = pq' - L(q, q'): invertendo la prima equazione (se ciò è possibile) si trova q' in funzione di q e p ed inserendola nella seconda la dipendenza da q' sparisce.
Ma in una generica trasformazione di Legendre (ometto la dipendenza da q in quanto non rilevante):
g(p) = pq' - f(q')
si deve utilizzare un modo per far scomparire la dipendenza da q' e che sia coerente con... altre cose.
Un modo è:
g(p) := sup[q'] [pq' - f(q')] se f è convessa
g(p) := inf[q'] [pq' - f(q')] se f è concava.
Nel nostro caso dell'hamiltoniana, f(q') = L(q') è convessa (non mi è del tutto chiaro perché non possa essere concava al di la del fatto che si richiede una energia cinetica T definita positiva, almeno in meccanica classica), dunque:
g(p) := sup[q'] [pq' - f(q')]
A questo punto, assumendo anche (almeno) la derivabilità di f, per trovare quel sup si cerca il valore di q' per cui
d[pq' - f(q')]/dq' = 0, cioè p = df(q') / dq'
che è appunto la definizione di p data sopra come _at_L/_at_q', che ora invece è ricavata :-)
Thanks!
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Wakinian Tanka
Received on Wed Aug 09 2023 - 13:21:22 CEST