Giorgio Pastore ha scritto:
> [...] E l'essere in un autostato comune a
> due operatori, implica che sia possibile misurare contemporaneamente le
> due osservabili corrispondenti. E se questo è possibile implica che
> possiamo assegnare un ben determinato valore delle due grandezze fisiche
> allo stesso tempo.
Non so niente del contesto, ma raccomanderei di tenere ben distinta
la matematica dalla fisica.
Che due osservabili (ossia due operatori autoaggiunti) abbiano uno,
due o più autovettori comuni, senza avere in comune un'intera base, è
fatto *puramente matematico*.
Che per due osservabili commutare e avere una base comune di
autovettori siano equivalenti, è un teorema matematico.
Quando si comincia a parlare di misure, la matematica cede il posto
alla fisica.
Misurare significa prima di tutto avere uno strumento di misura adatto
allo scopo.
Qui si potrebbe divagare su alcune implicazioni degli usuali postulati
interpretativi.
Per es. avete discusso su misure "simultanee", sul fatto che ciò
coinvolga il tempo oppure no.
La cosa curiosa è che si dà sempre per scontato che una misura sia
*istantanea*. Il corrispondente postulato interpretativo viene sempre
inteso così:
- # possiedo uno strumento di misura (costruito per misurare una certa
osservabile, e in genere non si dice che il sistema debba stare in uno
stato o in un altro, lo strumento funziona comunque #
- lo strumento possiede un pulsante, premendo il quale faccio partire
l'operazione di misura, che avviene *a un determinato istante di
tempo*
- qualunque fosse lo stato del sistema all'istante della misura, a
partire da quell'istante lo strumento segna un valore, e il sistema è
stato "precipitato" in un autostato corrispondente a quel valore.
Poi viene portato, come prototipo di strumento di misura, l'apparato
di Stern e Gerlach (che ormai è vecchio di un secolo): mai nessuno che
provi ad analizzare gli strumenti che *oggi* si usano per fare misure,
magari allo LHC...
Il guaio è che l'apparato di Stern e Gerlach è tutt'altro che semplice,
e tutt'altro che istantaneo...
Ma torniamo al nostro problema.
Abbiamo due osservabili che non commutano, ma hanno uno (o più)
autovettori comuni.
Abbiamo un certo sistema (magari un atomo) e abbiamo *gli* strumenti
di misura per le due osservabili.
Prego di rileggere ciò che ho scritto sopra sugli strumenti di misura
(c'è un segno #).
Intenderò che "misura simultanea" significhi due cose:
a) l'istante delle due misure (v. pulsante) è lo stesso
b) gli strumenti agiscono *insieme* sullo stesso esemplare del sistema
(non su due copie poste in uno stesso stato).
A me pare evidente che simili condizioni siano irrealizzabili.
Nel caso Stern e Gerlach è ovvio: per misurare una data componente
dello spin bisogna applicare un campo magnetico in quella direzione.
Ma il campo magnetico è uno: se applico *due* campi magnetici in
realtà opero con la risultante dei due campi.
Non sono riuscito a immaginare uno strumento di misura per il quale
non si ponga lo stesso problema: i due strumenti di misura
*interferiscono* inevitabilmente.
Sono ansioso di sentire da voi un controesempio.
Una piccola parentesi: che cosa significa che due osservabili A e B
hanno una base di autovettori comuni? Non sono allora la stessa
osservabile?
Risposta: non necessariamente, gli autovalori possono essere degeneri.
In tal caso ciascuna osservabile ha più autovettori di quelli comuni,
e la base sta nell'insieme intersezione degli autovettori comuni.
Se è così, definiamo una terza osservabile C che abbia come
autovettori (non degeneri) solo quelli della base.
Allora succedono due cose.
1. Matematica: A e B sono funzioni di C.
2. Fisica: esiste uno strumento che misura C, e snza muovere un dito
misura anche A e B.
Questa sì che è una "misura simultanea"!
Mio sospetto (non saprei dimostrarlo e non so se sia stato
dimostrato): questo è l'unico modo in cui due osservabili compatibili
possono essere misurate insieme.
Il caso L e Lz sicuramente rientra in questo schema, anche se non
saprei proporvi né com'è fatta l'osservabile C, né tanto meno come
sarebbe fatto il suo strumento di misura.
Per Davide (che spero sia riuscito a seguirmi).
La definizione che hai riportato di osservabili incompatibili mi
riesce nuova e non vedo a che cosa possa servire.
Che due osservabili non compatibili (contrario di "compatibili", ma
diverso dal tuo "incompatibili") possano avere autovettori in comune,
anche se certo non una base, ti è già stato detto e te lo confermo.
Se vuoi ti trovo un esempio che non ha niente a che fare col momento
angolare (spero che tu sappia operare con matrici di dimensione
finita).
--
Elio Fabri
Received on Wed May 01 2024 - 21:26:03 CEST