On 02/08/24 19:53, Giorgio Bibbiani wrote:
> Nota: rispondo qui a un messaggio che Michele Andreoli mi ha inviato in
> e-mail,
> immagino che l'intenzione fosse di inviarlo al NG ;-).
>
> MESSAGGIO DI MICHELE ANDREOLI:
> On 02/08/24 08:23, Giorgio Bibbiani wrote:
Ah, ecco che fine aveva fatto, il mio povero post. Grazie Giorgio per
averlo rimandato.
> MIA REPLICA:
> Sì, certo, gli unici potenziali centrali per cui tutte le orbite degli
> stati legati sono chiuse sono quello newtoniano e quello armonico,
Intanto, di questa fatto non sono riuscito a trovare una dimostrazione.
L'unica cosa che m'è venuta in mente è che, in questi due casi, il
polinomio R(u) che deve annullarsi nei punti di inversione, e che
compare qui ovunque sotto radice, risulta di secondo grado in u=1/r.
Può essere questo che produce il teorema?
> ma la mia domanda/obiezione
> era un'altra.
>
> L'integrale derivato dalla (14.10) che dà Deltaphi è
> Deltaphi = -2 _at_/_at_M Int_{r_min}^{r_max} sqrt(2m(E - U) - M^2/r^2) dr,
> il risultato è esatto SE r_min e r_max sono riferiti al moto reale, dato il
> potenziale perturbato U = -alpha / r + deltaU, sostituendo si ottiene
> Deltaphi = -2 _at_/_at_M Int_{r_min}^{r_max} sqrt(2m(E + alpha / r - deltaU) -
> M^2/r^2) dr,
> sviluppando nelle potenze di deltaU (o meglio, come scrivevo, di beta o
> di gamma) allora
> il termine del 1° ordine dà il risultato approssimato per deltaphi (eq.e
> (1) del L&L)
> come ho dimostrato nel mio messaggio precedente mentre il termine di
> ordine zero risulta
> -2 _at_/_at_M Int_{r_min}^{r_max} sqrt(2m(E + alpha / r) - M^2/r^2) dr
> ed è _diverso_ da 2Pi, perché gli estremi di integrazione r_min e r_max,
> che sono ancora quelli del moto reale, NON soddisfano l'uguaglianza
> (14.9) con U(r) = -alpha/r, come dovrebbero perché l'integrale valesse 2Pi.
>
> Quindi, ciò che io non capisco, è come e perché gli autori abbiano
> approssimato quell'integrale con 2Pi.
E' che loro, quei due Grandi, quando dicono "ordine zero", si
riferiscono a tutto l'integrale, funzione integranda ed estremi
compresi, come farei anche io (essendo un integrale definito). Dunque,
l'integrale che dici fa 2\pi, perchè l'intero contenuto della formula è
ottenuto ponendo dV=0 in tutte le sue parti, stop.
Del resto, come dicevo nel mio post perduto, l'integrale l'ho calcolato
con Mathematica e ho verificato che viene 2Pi:
https://micheleandreoli.org/link/2024-08-02_18-43.png
Quel che io mi chiedo, invece, è perchè ci stiamo ostinando a fare
questi integrali con tutte queste radici, solo perchè lo hanno fatto
quei Grandissimi, quando basterebbe passare alle orbite in forma polare
r=p/(1+e cos(\phi)), per ottenere degli integrali quasi immediati?
ciao,
Michele
--
www.micheleandreoli.org
CNR, Pisa, Italy
Received on Sat Aug 03 2024 - 14:59:01 CEST
