Re: domanda bizzarra : chiralità in uno spazio quadridimensionale (o più)

From: Tetis <bh1c3rF3220U2_at_mid.individual.net>
Date: Sun, 12 Jan 2014 16:16:55 +0100

Soviet_Mario ha pensato forte :
> Il 11/01/2014 01.12, Tetis ha scritto:
>> Dopo dura riflessione, Elio Fabri ha scritto :
>>> Massimo Soricetti ha scritto:
>>>> Si potrebe generalizzare e parlare allora di un
>>>> *sottospazio* di
>>>> simmetria, o di un nucleo di simmetria...?
>>> Generalizzare che cosa? Non capisco...
>>
>> Vorrebbe generalizzare il concetto di riflessione rispetto
>> ad un "piano" ovvero di riflessione rispetto ad una varietà
>> lineare invariante di codimensione 1 al concetto di
>> inversione con varietà lineare invariante di codimensione ...
>>
>>
>> 2k+1.
>>
>> E' chiaro infatti, ragionando sulla rappresentazione
>> diagonale reale delle isometrie, che le isometrie inverse
>> (determinante -1), presentando gli autovalori non reali in
>> coppie complesse coniugate, devono avere un numero dispari
>> di autovalori reali -1. Sicchè eventuali varietà invarianti,
>> cioè con autovalore reale 1, devono avere codimensione
>> dispari pari esattamente alla somma del numero di autovalori
>> -1 e del numero di coppie di autovalori complessi coniugati.
>>
>
> mi piacerebbe riuscire a capire almeno un decimo della tua risposta ... ma
> non accadrà :-)

Provo a spiegarlo in parole più semplici. Ogni isometria in
qualsivoglia dimensione si caratterizza per degli assi ortogonali che
l'isometria applica in se' (senza minimamente alterarli o invertendone
il verso, tertium non datur) e per dei piani sempre ortogonali due a
due che vengono mandati in sé medesimi secondo una rotazione, quindi
senza che alcuna direzione in quel piano sia conservata.

Per esempio nel piano una riflessione rispetto ad una retta lascia
invariata quella retta (verso incluso) e la sua retta ortogonale (che
cambia verso). Quando il numero di assi il cui verso cambia è pari,
questa isometria si ottiene per mezzo di un cammino continuo di
rotazioni dallo stato iniziale a quello finale. Quando il numero di
assi che cambiano verso è dispari l'isometria si ottiene componendo una
rotazione come quella di prima ed una riflessione che lascia invariante
tutto tranne una direzione che viene invertita.

Quello che stiamo dicendo è che possiamo chiamare inversione rispetto
ad una varietà lineare una isometria che lascia fisso un intero sistema
ortogonale di assi coordinati (non uno qualunque, ma uno preciso) e
cambia il vero di un numero dispari di essi, e stiamo dicendo che tutti
i restanti assi rimangono invariati e si comportano come "centro"
dell'inversione.

In tre dimensioni ci sono due sole possilità per cui questo accada:

1) a cambiare verso è un solo asse mentre il piano ortogonale rimane
fisso ed è il piano di riflessione.

2) a cambiare verso sono tre assi (e l'unico punto fisso è il centro).

In quattro dimensioni per esempio ci sono ancora due possibilità per
cui questo accada: un asse cambia verso, ed una varietà 3d ortogonale
mantiene il verso. Oppure 3 assi cambiano verso ed una retta ortogonale
a questi tre è invariata.

Ai fini del tuo discorso il succo è che ogni isometria in qualsivoglia
dimensione si può ottenere o per mezzo di un cammino continuo di
rotazioni, oppure per mezzo di un cammino continuo di rotazioni a cui
alla fine si aggiunge un cambiamento di verso per un asse. Non ci sono
altre possibilità.

Dimostrazione: la ometto per pigrizia di reciprocità.
Received on Sun Jan 12 2014 - 16:16:55 CET